山西省2013年中考数学试卷解析

M
2013年山西省中考试题
数学（解析）
（满分120分 考试时间120分钟）
第I卷 （共24分）
一、（本大题共12小题，每小题2分，共24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（2013山西，1，2分）计算2×（-3）的结果是（ ）
A．6B．-6C．-1D．5
【答案】B
【解析】异号相乘，得负，所以选B。
2．（2013山西，2，2分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
【答案】C
【解析】解（1）得： ，解（2）得：x＜3，所以解集为 ，选C。
3．（2013山西，3，2分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
【答案】A
【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C中两个小的与两个大的相邻，错，D中底面不符合，只有A符合。
4．（2013山西，4，2分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S2甲=36，S2乙=30，则两组成绩的稳定性：（ ）
A．甲组比乙组的成绩稳定　　B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定D．无法确定
【答案】B
【解析】方差小的比较稳定，故选B。
5．（2013山西，5 ，2分）下列计算错误的是（ ）
A．x3+ x3=2x3 B．a6÷a3=a2 C． D．
【答案】B
【解析】a6÷a3＝ ，故B错，A、C、D的计算都正确。
6．（2013山西，6，2分）解分式方程 时，去分母后变形为（ ）
A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3（1- x）D． 2-（x+2）=3（x-1）
【答案】D
【解析】原方程化为： ，去分母时，两边同乘以x－1，得：2－（x＋2）＝3（x－1），选D。
7．（2013山西，7，2分）下表是我省11个地市5月份某日最高气温（℃）的统计结果：
太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城
27272828272928283030
该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．27℃，28℃B．28℃，28℃C． 27℃，27℃D．28℃，29℃
【答案】B
【解析】28出现4次，最多，所以众数为28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位数为28，选B。
8．（2013山西，8，2分）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）
A．1条B．2条C．4条D．8条
【答案】C
【解析】这是一个正八边形，对称轴有4条。
9．（2013山西，9，2分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825　　B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825D．3(x+4.25%x)=33825
【答案】A
【解析】一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：3×4.25%x，再加上本金，得到33852元，所以，A是正确的。
10．（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发， 垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（ ）
A．100 mB．50 mC．50 mD． m
【答案】A
【解析】依题得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝ ，BC＝ ，选A。
11．（2013山西，11，2分）起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）（ ）
A．1.3×106JB．13×105JC．13×104JD．1.3×105J
【答案】D
【解析】质量m=6500kg，G=mg=65000，做功为W=650,0×2=130000=1.3×105J，选D。
12．（2013山西，1，2分 ）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ B ）
A． － 　　　B． － 　　C．π－ 　　D．π－
【答案】B
【解析】扇形BEF的面积为：S1= = ，
菱形ABCD的面积为SABCD= ，
如右图，连结BD，易证：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为： ，因为四边形BPDQ的面积为 ，
阴影部分的面积为： －
第Ⅱ卷非选择题（共96分）
二、题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分。把答案写在题中的横线上）
13．（2013山西，13，3分）分解因式：ａ２－２ａ＝　　　　　　．
【答案】ａ（ａ－２）
【解析】原式提取公因式a即可，本题较简单。
14．（2013山西，14，3分）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款。如图是该班同学捐款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息：
【答案】该班有50人参与 了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）
【解析】能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为：20、5、10、15，加起来等于50。
15．（2013山西，15，3分）一组按规律排列的式子：ａ２， ， , ,….则第n个式子是________
【答案】 （n为正整数）
【解析】已知式子可写成： ， ， , ，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a的指数为偶数2n。
16．（2013山西，16，3分）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y= x-1经过点C交x轴于点E，双曲线 经过点D，则k的值为________.
【答案】1
【解析】显然C点的纵坐标为1，将y=1代入，直线方程y= x-1，得x=4，即OB=4，
又AB=3，所以，OA=1，所以D点坐标为(1,1)，代入双曲线方程，可得k=1。
17．（2013山西，1 ，2分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为______.
【答案】
【解析】由勾股定理求得：BD=13，
DA=D =BC=5，∠D E=∠DAE=90°，设AE=x，则 E=x，BE=12－x，B =13－5＝8，
在Rt△E B中， ，解得：x＝ ，即AE的长为
18．（2013山西，18，3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_____m.
　　　　　　　　　　
【答案】48
【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18，－9），
设抛物线方程为： ，将B点坐标代入，得a＝－ ，所以，抛物线方程为： ，
E点纵坐标为y＝－16，代入抛物线方程，－16＝ ，解得：x＝24，所以，DE的长为48m。
三、解答题（本大题共8个小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）（2013山西，19(1)，5分）计算： .
【解析】解：原式=
=1-1=0
（2）（2013山西，19(2)，5分）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅 读，并解答所提出的问题。
………………………第一步
=2（x-2）-x-6……………………………………………………………第二步
=2x-4-x+6…………………………………………………………………第三步
=x+2………………………………………………………………………第四步
小明的解法从第 （2分）步开始出现错误， 正确的化简结果是 。（3分）
【答案】二
20．（201 3山西，20，7分）（本题7分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7
【解析】解：原方程 可化为：4x2-4x+1=3x2+2x-7
∴x2-6x+8=0 ∴(x-3)2=1 ∴x-3=±1 ∴x1=2 x2=4
21．（2013山西，21，8分）（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。
①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。
【解析】解：①作图正确，并有痕迹。
②连接BE并延长交AM于点F。
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。
【解析】解：AF∥BC且AF=BC
理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C
由作图可知：∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.
∵E是AC的中点， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.
22．（2013山西，22，9分）（本题9分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸爸玩 游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游。请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图 片分别用（H，P，Y，W表示） 。
【解析】解：列表如下：
或画树状图如下：
由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4种。
∴P（小能力能到两个景点旅游）= =
23．（2013山西，23，9分）（本题9分）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长。
解析】解：（1）CD是⊙O的切线,
理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,
∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线
(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)× = .
在Rt△BPQ中BQ= = =10
∴QC=BQ-BC=10= =
24．（2013山西，24，8分）（本题8分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
（1）：甲种收费方式的函数关系式是 .
乙种收费方式的函数关系式是 .
（2）该校某年级每次需印制100~450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。
【解析】（1）y=0.1x+6 y=0.12x
（2）解：由0.1x+6＞0.12x，得x＜300
由0.1x+6=0.12x，得x=300
由0.1x+6＜0.12x，得x＞300
由此可知：当100≤x＜300时，选 择乙种方式较合算；
当x=300时，选择甲乙两种方式都可以；
当300＜x≤450时，选择甲种方式较合算。
[来源:Z_xx_k.Com]
25．（2013山西 ，25，13分）（本题13分）数学活动??求重叠部分的面积。
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。
求重叠部分（△DCG）的面积。
（1）独立思考：请解答老师提出的问题。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中点,
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中点,
∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3
∴SDCG= ×CG?DG= ×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。
【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴点G是AH的中点，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中点，∴AD= AB=5
在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴ = , = ,∴DH= ,
∴S△DGH＝ S△ADH＝ × ×DH?AD= × ×5=
解法二：同解法一，G是AH的中点，
连接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中点，∴AH=BH，设AH=x则CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH?BC= × ×6=
∴S△ＤＧＨ= S△ADH= × S△ABH= × = .
解法三：同解法一，∠1=∠2
连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∵D是AB的中点，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，∴DM= BC= ×6=3
在Rt△ABC中，AB= =10， AC?BC= AB?CN，
∴CN＝ .
∵△DGH∽△BDC, ∴ ,
∴ =
∴
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN求重叠部分(△DMN)的面积、
任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。
【答案】①
②注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分。示例：如图，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交AC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。
26．（2013山西，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线 与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）当y=0时， ，解得，
∵点B在点A的右侧，
∴点A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0）
当x=0时，y=-4
∴点C的坐标为（0，-4），
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则 .解得，k= ，b=4.
∴直线BD的解析式为 .
∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m， ），（m， ）
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.
∴（ ）-( )=4-(-4)
化简得： .解得，m1=0，（舍去）m2=4.
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.
此时，四边形CQBM是平行四边形.
解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴.
∴△BPM∽△BOD.∴ .∴BM=DM.
∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ∴BM CQ.∴四边形CQBM为平行四边形.
解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则 .解得，k1= ，b1=-4
∴直线BC的解析式为y= x-4
又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2. ∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.
又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，
又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.
∴四边形CQBM为平行四边形.
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.


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