衢州市2013年中考数学试卷(含答案)

浙江省2013年初中毕业生学业考试（衢州卷）
数学试题卷
考生须知：
1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写．
3．全卷分为卷I（）和卷II（非）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上.本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑.
4．参考公式：二次函数 （ ）图象的顶点坐标是（ , ）；
一组数据 的方差： （其中 是这组数据的平均数）.
卷 Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分.请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满.
一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分.)
1．比1小2的数是（ ▲ ）
A．3B．1 C． D．
2. 下列计算正确的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
3. 衢州新闻网2月16日讯，2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次.将数833100用科学记数法表示应为（ ▲ ）
A． B． C． D．
4. 下面简单几何体的左视图是（ ▲ ）
5. 若函数 的图象在其所在的每一象限内，函数值 随自变量 的增大而增大，则 的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
6. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ▲ ）新 课 标第 一网
A．3cm B． 6cm C． 3 cm D． 6 cm
7.一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．
组员日期甲乙丙丁戊方差平均成绩
得分8179■8082■80
那么被遮盖的两个数据依次是（ ▲ ）
A．80，2B．80， C．78，2D． 78，
8. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30?，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60?，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ▲ ）（结果精确到0.1m， ≈1.73）.
A． 3.5m B． 3.6 m C． 4.3m D． 5.1m
9. 抛物线 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为 ，则 、 的值为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
10.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A D C B A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ▲ ）
卷 Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”相应位置上.
二、题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．凡需的位置均有“ ▲ ”标记.）
11.不等式组 的解集是 ▲ .
12. 化简： ▲ .
13. 小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ▲ .
14. 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（AB⌒ ）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm ，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ▲ .
15. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种 棵橘子树，果园橘子总个数为 个，则果园里增种 ▲ 棵橘子树，橘子总个数最多.
16. 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形
ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形
A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边
形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继
续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是 ▲ ；四边
形A2013B2013C2013D2013的周长是 ▲ .
三、简答题（本大题共有8小题，共66分．务必写出解答过程．）
17．（本题6分）
18．（本题6分）
如图，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
(1)用含 、 、 的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当 =6， =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
19．（本题6分）
如图，函数 的图象与函数 （ ）的图象
交于A（ ，1）、B（1， ）两点.
（1）求函数 的表达式；
（2）观察图象，比较当 时， 与 的大小.
20．（本题8分）
如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD :OC的值.
21. （本题8分）
据《2014年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（2013年2月5日发布），衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求2014年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）；
（2）求2005-2014年固定资产投资增长速度这组数据的中位数；
（3）求2006年的固定资产投资金额，并补全条形图；
（4）如果按照2014年的增长速度，请预测2013年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元（精确到1亿元）？
22．（本题10分）
提出问题
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.
类比探究
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由.
拓展延伸
（3）如图3，在等腰△ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.
23．（本题10分）
“五?一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.
（1）求a的值．
（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．
（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？
24．（本题12分）
在平面直角坐标系 O 中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为 （ ）.问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
浙江省2013年初中毕业生学业考试（衢州卷）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
题号12345678910
答案CDCAADCDBB
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
11． ≥2；12． ；13． ；14． ；15．10 ；16．20（1分）； （3分）.
三、（本大题共8小题，第17、18、19小题各6分，第20、21小题各8分，第22、23小题各10分，第24小题12分，共66分.）
17．解：（1）
=2-8÷2×（-2）…………………4分 ( 各个部分化简正确，各1分，共4分)
=2+8……………………………………………………………5分
=10…………………………………………………………… 6分
18．解：（1）面积= ………………………………………………………3分
（2）根据题意可得： （或 ），……………4分
整理得： ，解得 …………………………………… 5分
∵ ，∴正方形边长为 . …………………………6分
19．解：（1）把点A坐标代入 ，得 ………………………1分
∴ ∴ ………………………………………3分
（2）∴由图象可知，
当 或 时， ………………………4分
当 或 时， …………………………5分
当 时， …………………………6分
20.（1）证明：连结DO．∵AD//OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．………………1分
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．…2分
又∵CO=CO，OD=OB，∴△COD≌△COB………3分
∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．……4分
（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．…………………………5分
∵DE=2BC ∴ED=2CD． ………6分
∵ AD//OC，∴△EDA∽△ECO．…………………………7分
∴ ．…………………………8分
21．解：（1） …………………………2分（列式、计算各1分）
（2） ……4分（列式、计算各1分，%未加扣1分）
（3）设2006年的固定资产投资金额为 亿元，则有：
（或 ），解得 ……6分（列式、计算各1分）
条形图（略）. ………………………… 7分
（4） （亿元）………………………… 8分
答：2014年的固定资产投资增长速度为13%；2005-2014年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是14.72%；2006年的投资额是250亿元；预测2013年可达638亿元.
22．（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN …………………………1分
∴△BAM≌△CAN（SAS） …………………………2分
∴∠ABC=∠ACN …………………………3分
（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立 . ………………………4分
理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN
∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5分
∴∠ABC=∠ACN ………………………6分
（3）解：∠ABC=∠ACN ………………………7分
理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN
∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN， …………………8分
∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9分
∴∠ABC=∠ACN ………………………10分
23．（1）由图象知， ，……………………2分
所以 ； ……3分
（2）解法1：设过（10，520）和（30，0）的直线解析式为 ，
得 ， ………………………4分
解得 ， ………………………5分
因此 ，当 时， ，
即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人. ……………………6分
解法2：由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人， …………………5分
所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520-26×10=260人. …………6分
解法3：设10分钟后开放m个检票口，由题意得，520+16×20-14m×20=0， ………4分
解得m =3，………………………5分
所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520+16×10-3×10×14=260人. 6分
（3）设需同时开放 个检票口，则由题意知
， ……………………8分
解得 ， ∵ 为整数，∴ ， ……………………9分
答：至少需要同时开放5个检票口. ………10分
（说明：若通过列方程解得 ，并得到正确答案5的，得3分；若列出方程并解得 ，但未能得到正确答案的，得2分；若只列出方程，得1分）
24. 解：（1）∵矩形OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90°
∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= ……2分
∴ ……………………………3分
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
解法1：如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP= ，∴OG=PG=t,
∴点P(t，,t)
又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:
， ， ………4分
①若∠PQB=90°，则有 ,
即： ，
整理得： ，解得 （舍去），
∴ ………6分
②若∠PBQ=90°，则有 ,
∴ ，
整理得 ，解得 .
∴当t=2或 或 时，△PQB为直角三角形. .… 8分
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分
②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB
∴ ，∴ ，∴ ， 化简得 ，
解得 ……… 6分∴ ………………… 7分
③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB
∴ ，∴ ，
∴ ，化简得 ，
解得 ∴ ……………… 8分
（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形 为平行四边形. ………………9分
∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（ ）………………10分
∵点B坐标为（6,2）， ∴点 的坐标为（3t-6,t-2）， .………………11分
代入 ，得： ，解得 ……12分
（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形 为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O处，点 即点O.由（1）知，此时t=2. （说明：解得此t值，可得2分.）


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