解答图形存在问题的两种途径
图形存在问题在各地
中考中屡见不鲜.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线，要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答这类问题，可首先假设这种现象存在，再考虑利用化“动”为“静”的策略，构造方程关系式或函数 关系式，进行判断和说明.现举例分析如下:
一、从构造方程关系式入手
例1 (临沂市中考)已知，在矩形 中， ， ，动点 从点 出发沿边 向点 运动.
(1)如图1，当 ，点 运动到边 的中点时，请证明: .
(2)如图2，若 时，点 在运动的过程中，是否存在 ?若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由.
解析(1)先证明 .
∵四边形 是矩形，
∴ .
∵ ，点M= 是边 的中点，
∴ ， ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ .
(2)假设存在题中所求，则存在符合 要求的正实数 ，使得 .
由 ，得
当 时，
，且两根均大于0，所以存在两个不同的正实数 ，使得 ，必存在使 的点 ;
当 时，
，所以不存在正实数 ，使得 ，必不存在使 的点 .
说明 解答(1)的关键在于将证明 转化为证明 和 都是等腰直角三角形.
解答(2)的关键在于发现:若 ，则 .根据其对 应边的比相等的性质，能构造一个关于 的一元二次方程.接下去只需要判断或说明这个关于 的 一元二次方程是否存在正实数根.
例2 (南通市中考)如图3，在 中， c， cm，点 是 边的中点，点 从点 出发，以 c m/s( )的速度沿 匀速向点 运动;点 同时以1cm/s的速度从点 出发，沿 匀速向点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为 s.
(1)若 ， ，求 的值.
(2)点 在 上，四边形 为平行四边形.
①若 ，求 的长.
②是否存在实数 ，使得点 在 的平分线上?若存在，请求出 的值;若不存在，请说明理由.
解析 (1)在 中，由已知条件 ，可得
∵ 时，
， ， ，
∴ ，
解得 .
(2)①由四边形 为平行四边形，得
解得 .
∴ .
②假设存在符合要求的实数 ，连 (如图4).
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是菱形.
因为 ，所以不存在实数符合要求的 ，使得点 在 的平分线上.
说明 解答(1)的关键在于利用 的条件，根据其对应边的比相等的性质构造一个关于 的方程.
解答(2)①的关键在于从四边形 为平行四边形入手，推出 为等腰三角形及 ;解答(2)②的关键在于发现，若点 在 的平分线上时，四边形 是菱形，根据 且 ，能得两个关于 和 的方程.
二、从构造函数关系式入手
例3 (南充市)如图5，在 中， ， 是 中点，把一三角尺的直角顶点放在点 处，以 为旋转中心，旋转三角尺， 使三角尺的两直角边与 的两直角边分别交于点 、 .
(1)求证： .
(2)连结 ，探究:在旋转三角尺 的过程中， 的周长是否存在最小值?若存在，求出最小值; 若不存在，请说明理由.
解析 (1)如图6所示，连结 ，只需证明 .
因为 是等腰直角三角形，且 是斜边 的中点，
∴ ， ， 平分 .
∴ .
(2)假设存在最小值，则存在正实数 ，使得 ，且使得 的周长 有最小值.
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最小值为8，
∴ 的最小值 .
所以在旋转三角尺的过程中， 的周长存在最小值为 .
说明 解答(7)的关键在于连结 ，将证明 转化为证明 .
解答(2)的关键在 于构造l= 与 的函数关系式，并利用配方方法确定 的 最小值为8.
例4 (德州市)如图7所示，现有一张边长为4的 正方形纸片 ，点 为正方形 边上的一点(不与点 、 点重合).将正方形纸片折叠，使点 落在 处，点 落在 处， 交 于 ，折痕为 ，连结 、 .
(1)求证: .
(2)当点 在边 上移动时， 的周长是否发生变化?并证明你的结论.
(3)设 为 ，四边形 的面积为 ，试问 是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.
解析 (1)注意 到 ，那么 .
因为四边形 沿拆痕 折叠后与四边形 重合，
∴ ，
∴ .
(2)如图8，过点 作 于点 .
∵ ，
∴点 在 的平分线上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ 的 周长 .
所以点 在边 上移动时， 的周长不会发生变化.
(3)假设四边形 的面积 存在最小值.由于四边形 沿折痕 折叠后与四边形 重合，则 .
∵ ，
.
过点 作 ，垂足为 ，
则 ， .
∵ 为折痕，点 与点 是一对对应点，
.
因为当 时， 的最小值为6,
所以四边形 的面积 存在最小值为6.
说明解答(1)的关键在于利用轴对称图形的性质证明 .
解答(2)的关键在于过点 作 于点 ，并利用(1)的结论证明 .
解答(3)的关键在于用 分别表示 和 .要用 表示 离不开用 表示 ，要用 表示 ，过点 作 至关重要.
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