逍遥右脑 2016-01-12 09:39
2015中考数学真题分类汇编：圆（6）
一．填空题（共19小题）
1．（2015•北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
2．（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为 ．
3．（2015•扬州）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 cm（结果保留根号）．
4．（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 ．
5．（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为 cm2．
6．（2015•齐齐哈尔）底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为 ．
7．（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．
8．（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
9．（2015•湘潭）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm2．（结果保留π）
10．（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 厘米2（结果保留π）．
11．（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm．
12．（2015•徐州）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ．
13．（2015•孝感）已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是 cm．
14．（2015•黑龙江）如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是 米．
15．（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 ．
16．（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 cm3．
17．（2015•嘉兴）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m= 时，n= ；
（2）随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 ．
18．（2015•舟山）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相应移动的路经长为 ．
19．（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是 （填写序号）
二．解答题（共11小题）
20．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
21．（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
22．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
23．（2015•无锡）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
25．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求 的长．
（2）求弦BD的长．
26．（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
27．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
28．（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
29．（2015•菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的长．
30．（2015•孝感）如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的长．
2015中考数学真题分类汇编：圆（6）
参考答案与试题解析
一．填空题（共19小题）
1．（2015•北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 2 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答： 解：扇形的弧长= =4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
故答案为：2．
点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
2．（2015•呼和浩特）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为 12π ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 据扇形的面积公式求出扇形的圆心角，再利用弧长公式求出弧长，再利用圆的面积公式求出底面半径，求得底面积后即可求得全面积．
解答： 解：∵ =8π，
∴解得n=180
则弧长= =4π
2πr=4π
解得r=2，
∴底面积为4π，
∴全面积为12π．
故答案是：12π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据圆锥的侧面积公式得到圆锥的底面半径的求法．
3．（2015•扬州）已知一个圆锥的侧面积是2πcm2，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为 cm（结果保留根号）．
考点： 圆锥的计算．
分析： 利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解答： 解：设圆锥的母线长为R，
π×R2÷2=2π，
解得：R=2，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：2π，
∴圆锥的底面圆半径是2π÷2π=1，
∴圆锥的高为 ．
故答案为 ．
点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．（2015•烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是 6 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据弧长求得圆锥的底面半径和扇形的半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解答： 解：∵弧长为6π，
∴底面半径为6π÷2π=3，
∵圆心角为120°，
∴ =6π，
解得：R=9，
∴圆锥的高为 =6 ，
故答案为：6 ．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够利用圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长求得圆锥的底面半径，难度一般．
5．（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为 108π cm2．
考点： 圆锥的计算．
分析： 首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
解答： 解：设AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，
∴ =12π，
解得：R=18，
∴圆锥的侧面积为 lR= ×12π×18=108π，
故答案为：108π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
6．（2015•齐齐哈尔）底面周长为10πcm，高为12cm的圆锥的侧面积为 65πcm2 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据圆锥的侧面积公式：S= al，直接代入数据求出即可．
解答： 解：设圆锥的底面半径为r，母线为a，
∴r= =5，
∴a= =13，
∴圆锥的侧面积= ×10π×13=65π，
故答案为：65πcm2．
点评： 此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
7．（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．
解答： 解：∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，
∵圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长，
∴母线长=2×12π÷（6π）=4，
∴这个圆锥的高是 = ，
故答案为： ．
点评： 考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积= ×侧面展开图的弧长×母线长．
8．（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 15π ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积．
解答： 解：∵OB= BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5，
侧面展开图的面积为： ×6π×5=15π．
故答案为：15π．
点评： 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．
9．（2015•湘潭）小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 200π cm2．（结果保留π）
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答： 解：底面半径为8cm，
则底面周长=16π，
侧面面积= ×16π×25=200πcm2．
故答案为200π．
点评： 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式，熟练记忆圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键．
10．（2015•常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 2π 厘米2（结果保留π）．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据圆锥侧面积的求法：S侧= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圆锥的侧面积公式，求出该圆锥的侧面积是多少即可．
解答： 解：该圆锥的侧面积是：
S侧= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．
故答案为：2π．
点评： 此题主要考查了圆锥的侧面积的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：S侧= •2πr•l=πrl．
11．（2015•珠海）用半径为12cm，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 3 cm．
考点： 圆锥的计算．
分析： 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
解答： 解：圆锥的底面周长是： =6π．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π．
解得：r=3．
故答案是：3．
点评： 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
12．（2015•徐州）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 1 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．
解答： 解：根据扇形的弧长公式l= = =2π，
设底面圆的半径是r，
则2π=2πr
∴r=1．
故答案为：1．
点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
13．（2015•孝感）已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是 8 cm．
考点： 圆锥的计算．
专题： 计算题．
分析： 设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到 •2π•r•10=60π，解得r=6，然后根据勾股定理计算圆锥的高．
解答： 解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得 •2π•r•10=60π，
解得r=6，
所以圆锥的高= =8（cm）．
故答案为8．
点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（2015•黑龙江）如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是 米．
考点： 圆锥的计算．
分析： 圆的半径为1，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．
解答： 解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=45°，AC=2AD，
∴AC=2（OA×cos45°）=
∴ = π
∴圆锥的底面圆的半径= π÷（2π）= ．
故答案为： ．
点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
15．（2015•大庆）底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 π ．
考点： 圆柱的计算．
分析： 圆柱的侧面积=底面周长×高．
解答： 解：圆柱的底面周长=π×1=π．
圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π．
故答案是：π．
点评： 本题考查了圆柱的计算，熟记公式即可解答该题．
16．（2015•福州）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示，其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm，则正方体的体积为 2 cm3．
考点： 圆柱的计算．
分析： 作出该几何体的俯视图，然后确定底面圆的半径，从而求得正方体的棱长，最后求得体积．
解答： 解：该几何体的俯视图如图：
∵圆柱底面周长为2πcm，
∴OA=OB=1cm，
∵∠AOB=90°，
∴AB= OA= ，
∴该正方体的体积为（ ）3=2 ，
故答案为：2 ．
点评： 本题考查了圆柱的计算，解题的关键是确定底面圆的半径，这是确定正方体的棱长的关键，难度不大．
17．（2015•嘉兴）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．
（1）当m= 时，n= ?1 ；
（2）随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相应移动的路径长为 ．
考点： 圆的综合题；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．
分析： （1）当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角∠APM为90°，根据PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，则有NO=AO=1，即可得到n=?1；
（2）当m从 变化到 时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图3，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．
解答： 解：（1）当m= 时，连接PM，如图1，
则有∠APM= ×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=?1．
故答案为?1；
（2）①当m= 时，连接PM，如图2，
∠APM= 360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ；
②当m= 时，连接PM，如图3，
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．
故答案为 ．新 课 标 第 一 网
点评： 本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
18．（2015•舟山）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从 变化到 时，点N相应移动的路经长为 ．
考点： 圆的综合题；轨迹．
分析： 当m从 变化到 时，点N相应移动的路经是一条线段，只需考虑始点和终点位置即可解决问题．当m= 时，连接PM，如图1，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角为120°，则∠APM=120°，根据PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中运用三角函数可求出ON的长；当m= 时，连接PM，如图2，点M从点A绕着点P逆时针旋转了一周的 ，从而可得到旋转角为240°，则∠APM=120°，同理可求出ON的长，问题得以解决．
解答： 解：①当m= 时，连接PM，如图1，
∠APM= ×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ．
②当m= 时，连接PM，如图2，
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
综合①、②可得：点N相应移动的路经长为 + = ．
故答案为 ．
点评： 本题主要考查了旋转角、等腰三角形的性质、三角函数等知识，若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．
19．（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正确结论是 ①②④ （填写序号）
考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
专题： 推理填空题．
分析： ①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；
②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到 的值；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得 = = ，把AN=1?DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．
解答： 解：正确结论是①②④．
提示：①连接OQ，OD，如图1．
易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．
结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，
则有DQ=DA=1．
故①正确；
②连接AQ，如图2．
则有CP= ，BP= = ．
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ= ，
则PQ= ? = ，
∴ = ．
故②正确；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．
易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH= ，
∴S△DPQ= DP•QH= × × = ．
故③错误；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．
易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得 = = ，
则有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．
故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．
故答案为：①②④．
点评： 本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．
二．解答题（共11小题）
20．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE=CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．
考点： 垂径定理；勾股定理；菱形的判定．
分析： （1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；
（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
解答： （1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE•AE，
设DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10?x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
CD= = =2 ．
点评： 本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
21．（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 = ．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由 = 得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE= BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD= ，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD= ，再根据正弦的定义求解．
解答： 解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵ = ，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE= BC= ×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE= =8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴ AE•BC= BD•AC，
∴BD= = ，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD= ，
∴AD= = ，
∴sin∠ABD= = = ．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．
22．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
考点： 圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： （1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ= ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ= ，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP= OB= ，所以PQ长的最大值= ．
解答： 解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，新-课 -标 -第-一-网
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，
∴OP=3tan30°= ，
在Rt△OPQ中，∵OP= ，OQ=3，
∴PQ= = ；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ= = ，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP= OB= ，
∴PQ长的最大值为 = ．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．
23．（2015•无锡）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
考点： 圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算．
分析： （1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据S阴影=S扇形?S△OBD即可得到结论．
解答： 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
连OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD= =5 cm．
（2）S阴影=S扇形?S△OBD= π•52? ×5×5= cm2．
点评： 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接OD构造直角三角形是解题的关键．
24．（2015•德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： 等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理．
分析： （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为 的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．
解答： 证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为 的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APE= AB•PE，S△ABC= AB•CF，
∴S四边形APBC= AB•（PE+CF），
当点P为 的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB= ，
∴S四边形APBC= ×2× = ．
点评： 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
25．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求 的长．
（2）求弦BD的长．
考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．
分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出 的长即可．
（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．
解答： 解：（1）如图，连接OC，OD， ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵ ，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴ 的长= ．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10× ．
点评： （1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
26．（2015•佛山）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理．
分析： （1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
解答： 解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°?42°=48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°? ．
点评： 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
27．（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
考点： 圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．
分析： （1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB，进而可得∠A=∠AEB；
（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
点评： 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．
28．（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
考点： 点与圆的位置关系；勾股定理．
专题： 新定义．
分析： 设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
解答： 解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．
29．（2015•菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2 ）2=x2+（3x）2求得答案．
解答： （1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB=90°，
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
即（2 ）2=x2+（3x）2，
∴x=2．
∴CE=2．
点评： 本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题大关键．
30．（2015•孝感）如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的长．
考点： 切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到 ，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD= ，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r?4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD= ，得到 于是求得结论．
解答： （1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P= ，
∴sin∠FAD= ，
在Rt△AFD中，AF?5，sin∠FAD= ，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在Rt△OCD中，设OC=r，
∴r2=（r?4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD= ，∴ ，
∵AB=20，
∴BE=12．
点评： 本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．