青岛市2013年数学中考试卷解析

2013年山东青岛市初级中学学业水平考试
数学试题
一、
1、－6的相反数是（ ）
A、—6 B、6 C、 D、
答案：B
解析：－6的相反数为6，简单题。
2、下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D
答案：D
解析：A、B、C都是轴对称图形，只有D为中心对称图形。
3、如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A B C D
答案：B
解析：该几何体上面是圆锥，下面为圆 柱，圆锥的俯视图是一个圆和圆心，圆锥顶点投影为一个点（圆心）。
4、“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2014年国民经济和社会发展统计公报》指出，截止2014年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学计数法表示为（ ）件
A、 B、 C、 D、
答案：C
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
8750000＝
5、一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个
A、45 B、48 C、50 D、55
答案：A
解析：摸到白球的概率为P＝ ，设口袋里共有n个球，则
，得n＝50，所以，红球数为：50－5＝45，选A。
6、已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长为 和 ，则 与 之间的函数图像大致是（ ）
A B C D
答案：A
解析：因为xy＝36，即 ，是一个反比例函数，故选A。
7、直线 与半径 的圆O相交，且点O到直线 的距离为6，则 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
解析：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。
8、如图，△ABO缩小后变为 ，其中A、B的对应点分别为 ， 均在图中格点上，若线段AB上有一点 ，则点 在 上的对应点 的 坐标为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析 ：因为AB＝2 ， ，所以， ，所以点P（m，n）经过缩小变换后点 的坐标为
二、题
9、计算：
答案：
解析：原式＝ ＝
10、某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下： ， ， ， ，则这两名运动员中的________的成绩更稳定。
答案：甲
解析：数据的方差小的运动员比较稳定，因为甲的方差小于乙，所以，甲稳定。
11、某企业2010年底缴税40万元，2014年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为 ，根据题意，可得方程___________
答案：40（1＋x）2＝48.4
解析：2010年为40，在年增长率为x的情况下，2014年应为40（1＋x），
2014年为40（1＋x）2，所以，40（1＋x）2＝48.4
12、如图，一个正比例函数图像与一次函数 的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是____________
答案：y＝－2x
解析：交点P的纵坐标为y＝2，代入一次函数解析式：2 ＝－x＋1，所以，x＝－1
即P（－1,2），代入正比例函数，y＝kx，得k－2，所以，y＝－2x
13、如图，AB是圆0直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是_____________
答 案：
解析：连结OC，则∠BOC＝120°，AB＝4，所以，R＝2，
扇形BOC的面积为S扇形＝
三角形BOC的面积为：
所以，阴影部分面积为：
14、要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面现成 的，其它三个面必须用刀切3次才能切出来，那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要要刀切__________次，分割成64个小正方体，至少需要用刀切_________次。
答案：6，9
解析：
27=3*3*3 ，2刀可切3段，从前，上，侧三个方向切每面2刀 所以需要2*3=6刀
64=4*4*4 ，3刀可切4段，从前，上，侧三个方向切每面3刀 所以需要3*3=9刀
三、作图题
15、已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B、D两点的距离相等
（在题目的原图中完成作图）
结论：
解析：因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，
首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．
点E即为所求．
四、解答题
16、（1）解方程组： （2）化简：
解析：（1）两式相加，得：x＝1，把x＝1代入第2式，得y＝1 ，
所以原方程组 的解：
（2）原式＝
17、请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告
2013年4月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告
调查目的了解八年级学生每天干家务活的平均时间
调查内容光明中学八年级学生每天干家务活的平均时间
调查方式抽样调查
调查步骤1、数据的收集：
（1）在光明中学八年级每班随机调查5名学生；
（2）统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间（单位：min），结果如下（其中A表示10min；B表示20min；C表示30min）；
BAABBBBACBBABBC
ABAACABBCBABBAC
2、数据的处理：
以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果请补全频数分布直方图
3、数据的分析
列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数）
调查结论光明中学八年级共有240名学生，其中大约有__________名学生每天干家务活的平均时间是20min
……
解析：
从图表中可以看出C的学生数是5人，
如图：
每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）；
根据题意得：240× =120（人），
光明中学八年级共有240名学生，其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是20min；
故答案为：120．
18、小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏。当两张牌的牌面数字之和为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由
解析：
19、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，求第一次的捐款人数
解析：
设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：
解得：x=300，
经检验x=300是原方程的解，
答：第一次的捐款人数是300人．
20、如图，马路的两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°
（1）求CD与AB之间的距离；
（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米
（参考数据： ， ， ，
， ， ）
解析：
21、已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点
（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
解析：
（1 ）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又MA＝MD，
所以，△ABM≌△DCM
（2）四边形MENF是菱形；
理由：因为CE＝EM，CN＝NB，
所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC，
所以，四边形MENF为平行四边形，
又△ABM≌△DCM
（3）2：1
22、某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
解析：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000
（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
所以，当x＝35时，w有最大 值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大
（3）方案A：由题可得＜x≤30，
因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，
方案B：由题意得 ，解得： ，
在对称轴右侧，w随x的增大而减小，
所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，
因为2000元＞1250元，
所以选择方案A。
23、在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。
【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（ 1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的
矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43
的矩形面积或（40＋7＋3）×40的矩形与右上角3×7的矩形
面积之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋
3×7＝2021
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，
再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
【研究方程】
提出问题：怎么图解一元二次方程
几何建模：
（1）变形：
（2）画四个长为 ，宽为 的矩形，构造图④
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式， 或四个长 ，宽 的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积
即：
∵
归纳提炼：求关于 的一元二次方程 的解
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎么运用矩形面积表示 与 的大小关系（其中 ）？
几何建模：
（1）画长 ，宽 的矩形，按图⑤方式分割
（2）变形：
（ 3）分析：图⑤中大矩形的面积可以表示为
；阴影部分面积可以表示为 ，
画点部分的面积可表示为 ，由图形的部分与整体
的关系可知： ＞ ，即
＞
归纳提炼：
当 ， 时，表示 与 的大小关系
根据题意，设 ， ，要求参照上 述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并标注相关线段的长）
解析：
24、已知，如图，□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1），解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）设四边形ANPM的面积为 （cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3） 是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半，若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由
（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由
解析：
解得：t＝ ，
当AE：EC＝1： 时，
同理可得： ，即 ，解得：t＝ ，
答：当t＝ 或t＝ 时，NP与AC的交点把线段AC分成 的两部分


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