南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学
注意事项：
1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3. 答必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答非必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，
在其他位置答题一律无效。
4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，清楚。
一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 计算12?7?(?4)?8?(?2)的结果是
(A) ?24 (B) ?20 (C) 6 (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，选D。
2. 计算a3．( 1 a )2的结果是
(A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
答案：A
解析：原式＝ ，选A。
3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：? a是无理数；? a可以用数轴上的一个点来表示；? 3
(A) ?? (B) ?? (C) ??? (D) ???
答案：C
解析：由勾股定理，得： ，所以，③错误，其它都正确。
4. 如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm。圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是
(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含
答案：D
解析：7s后两圆刚好内切，所以，外切、相交、内切都有，没有内含，选D。
5. 在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图像与反比例函数y= k2 x 的图像没有公共点，则
(A) k1?k2<0 (B) k1?k2>0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0
答案：C
解析：当k1>0，k2<0时，正比函数经过一、三象限，反比函数在二、四象限，没有交点；当k1＜0，k2＞0时，正比函数经过二、四象限，反比函数在一、三象限，没有交点；所以，选C。
6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂
有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是
答案：B
解析：涂有颜色的面在侧面，而A、C还原后，有颜色的面在底面，故错；D还原不回去，故错，选B。
二、题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)
7. ?3的相反数是 ；?3的倒数是 。
答案：3；? 1 3
解析：负数的相反数为正数，绝对值相等，一个数的倒数是将原数分子与分母对换位置。
8. 计算 3 2 ? 1 2 的结果是 。
答案：2
解析：原式＝
9. 使式子1? 1 x?1 有意义的x的取值范围是 。
答案：x?1
解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x?1
10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000
名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为 。
答案：1.3?104
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
13000＝1.3?104
11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，
旋转角为? (0?答案：20
解析： ，延长 交CD于E，则? =20?，? ED=160?，由四边形的内角和为360?，可得??=20?
12. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， ?A=120?，则EF= cm。
答案：3
解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，?EAO=60?，EP＝ ，所以，EF＝3
13. △OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的 一个内角为70?，则该正多边形的边数为 。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为： ＝9；
若∠BOA＝70°，则边数为： 不可能，因此，边数为9。
14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出
方程： 。
答案：本题答案不唯一，如(x?1)2=25；
解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x＋1。
15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交
于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。
答案：3； 7 3
解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，
，即 ，所以，PE＝ ， ＋1＝ 7 3
故P的坐标为（3， 7 3 ）。
16. 计算(1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 )( 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 6 )?(1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 6 )( 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 )的结果是 。
答案： 1 6
解析：设x＝ 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ，则原式＝（1－x）（x＋ ）－（1－x－ ）x＝
三、解答题 (本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17. (6分) 化简( 1 a?b ? b a2?b2 )? a a?b 。
解析： 解：( 1 a?b ? b a2?b2 )? a a?b = (a?b)?b (a?b)(a?b) ． a?b a = a (a?b)(a?b) ． a?b a = 1 a?b 。
18. (6分) 解方程 2x x?2 =1? 1 2?x 。
解析：方程两边同乘x?2，得2x=x?2?1。解这个方程，得x= ?1。
检验：x= ?1时，x?2?0，x= ?1是原方程的解。 (6分)
19. (8分) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分
?ABC，P是BD上一点，过点P作PM?AD，PN?CD，垂
足分别为M、N。
(1) 求证：?ADB=?CDB；
(2) 若?ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形。
解析：
证明：(1) ∵BD平分?ABC，∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD ? △CBD。∴?ADB=?CDB。 (4分)
(2) ∵PM?AD，PN?CD，∴?PMD=?PND=90?。
又∵?ADC=90?，∴四边形MPND是矩形。
∵?ADB=?CDB，PM?AD，PN?CD，∴PM=PN。
∴四边形MPND是正方形。 (8分)
20. (8分)
(1) 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同。求下列事件的概率：
? 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
? 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
(2) 某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是
(A) 1 4 (B) ( 1 4 )6 (C) 1?( 1 4 )6 (D) 1?( 3 4 )6
解析： (1) 解：? 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有1种，所以P(A)= 1 4 。
? 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、
(黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝，
白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能
性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种，
所以P(B)= 1 16 。 (6分)
(2) B (8分)
21. (9分) 某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机
抽取了150名学生进行抽样调查。整体样本数据，得到下列图表：
(1) 理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由：
(2) 根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计
图；
(3) 该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议。如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地。请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议： 。
解析：解：(1) 不合理。因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到
的机会不相等，样本不具有代表性。 (2分)
(3) 本题答案不唯一，下列解法供参考。
乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域。 (9分)
22. (8分) 已知不等臂跷跷板AB长4m。如图?，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹
角为?；如图?，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为?。求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH。(用含?、?的式子表示)
解析：解：在Rt△AHO中，sin?= OH OA ，∴OA= OH sin? 。 在Rt△BHO中，sin?= OH OB ，∴OB= OH sin? 。
∵AB=4，∴OA?OB=4，即 OH sin? ? OH sin? =4。∴OH= 4sin?sin? sin??sin? (m)。 (8分)
23. (8分) 某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额。
消费金额(元)300~400400~500500~600600~700700~900…
返还金额(元)3060100130150…
注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400?(1?80%)?30=110(元)。
(1) 购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？
(2) 如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
解析：解：(1) 购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，
顾客获得的优惠额为1000?(1?80%)?150=350(元)。 (2分)
(2) 设该商品的标价为x元。
当80%x?500，即x?625时，顾客获得的优惠额不超过625?(1?80%)?60=185<226；
当500<80%x?600，即625?x?750时，(1?80%)x?100?226。解得x?630。
所以630?x?750。
当600<80%x?800?80%，即750
顾客获得的优货额大于750?(1?80%)?130=280>226。
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，
那么该商品的标价至少为630元。 (8分)
24. (8分) 小丽驾车从甲地到乙地。设她出发第x min时的速度为y km/h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系。
(1) 小丽驾车的最高速度是 km/h；
(2) 当20?x?30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22 min时的速度；
(3) 如果汽车每行驶100 km耗油10 L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？
解析：解：(1) 60；(1分)
(2) 当20?x?30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx?b。
根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。
所以60=20k?b24=30k?b，解得k= ?3.6b=132。所以，y与x之间的函数关系式为y= ?3.6x?132。
当x=22时，y= ?3.6?22?132=52.8。
所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)
(3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
0?12 2 ? 5 60 ? 12?60 2 ? 5 60 ?60? 10 60 ? 60?24 2 ? 10 60 ? 24?48 2 ? 5 60 ?48? 10 60 ? 48?0 2 ? 5 60
=33.5(km)。
所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5? 10 100 =3.35(L) (8分)
25. (8分) 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
于点M，交过点C的直线于点P，且?BCP=?ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图?，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。
∵?BAC=?BNC，∴?BNC=?ACD。
∵?BCP=?ACD，∴?BNC=?BCP。
∵CN是圆O的直径，∴?CBN=90?。
∴?BNC??BCN=90?，∴?BCP??BCN=90?。
∴?PCO=90?，即PC?OC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD?OA，即?OAD=90?。
∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，即OM?BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OMC和△OCP中，
∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
∴△OMC～△OCP。∴ OM OC = CM PC ，即 62 ? 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图?，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴AD?OA，
即?OAD=90?。
∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，
即OM?BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴?MAB=?MAC。
∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC，∴?MOC=?BAC。
∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD，
∴?MOC=?BCP。∵?MOC??OCM=90?，∴?BCP??OCM=90?。
∴?PCO=90?，即PC?OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OMC和△OCP中，∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
∴△OMC～△OCP，∴ OM OC = CM PC ，即 62 ? 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
26. (9分) 已知二次函数y=a(x?m)2?a(x?m) (a、m为常数，且a?0)。
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
? 当△ABC的面积等于1时，求a的值：
? 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
解析： (1) 证明：y=a(x?m)2?a(x?m)=ax2?(2am?a)x?am2?am。
因为当a?0时，[?(2am?a)]2?4a(am2?am)=a2>0。
所以，方程ax2?(2am?a)x?am2?am=0有两个不相等的实数根。
所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
(2) 解：? y=a(x?m)2?a(x?m)=(x? 2m?1 2 )2? a 4 ，
所以，点C的坐标为( 2m?1 2 ,? a 4 )。
当y=0时，a(x?m)2?a(x?m)=0。解得x1=m，x2=m?1。所以AB=1。
当△ABC的面积等于1时， 1 2 ?1? ? a 4 =1。
所以 1 2 ?1?( ? a 4 )=1，或 1 2 ?1? a 4 =1。
所以a= ?8，或a=8。
? 当x=0时，y=am2?am，所以点D的坐标为(0, am2?am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
1 2 ?1? ? a 4 = 1 2 ?1? am2?am 。
所以 1 2 ?1?( ? a 4 )= 1 2 ?1?(am2?am)，或 1 2 ?1? a 4 = 1 2 ?1?(am2?am)。
所以m= ? 1 2 ，或m= ?1?2 2 ，或m= ?1?2 2 。 (9分)
27. (10分) 对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个
三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为
逆相似。例如，如图?，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，
因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图?，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与
A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：? △ADE与△ABC；
? △GHO与△KFO； ?△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图?，在锐角△ABC中，?A 合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
理由。
解析：
(1) ??；? (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图?，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使?CPQ1=?A，?BPQ2=?A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图?，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作?CBM=?A，BM交AC
于点M。
当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使?AP1Q=?ABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使?AP2Q1=?ABC，
?CP2Q2=?ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图?，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作?BCD=?A，?ACE=?B，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使?AP1Q=?ABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使?AP2Q1=?ACB，
?BP2Q2=?BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使?BP3Q’=?BCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
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