逍遥右脑 2015-12-03 07:47
2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县新世纪中学九年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）每题有且只有一个正确答案，请把你认为正确的答案前面的字母填入上表相应的空格内.
1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． 3 ? =3 B． 5 ×5 =5 C． ÷ =2 D． =?6
3．如果两圆的半径长分别为7和5，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A． 相切 B． 外离 C． 内含 D． 相交
4．“爱运动，强身体”，在我校的运动会中，某班一名200米短跑选手赛前进行了刻苦训练，体育老师对他10次训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则需要知道他这10次成绩的（ ）
A． 平均数 B． 方差 C． 众数 D． 中位数
5．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=50°，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 80° D． 20°
6．用配方法解方程：x2?4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A． （x?2）2=2 B． （x+2）2=2 C． （x?2）2=?2 D． （x?2）2=6
7．S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A． 1500（1+x）2=980 B． 980（1+x）2=1500 C． 1500（1?x）2=980 D． 980（1?x）2=1500
8．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（ ）
A． 三角形 B． 平行四边形 C． 矩形 D． 正方形
9．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． 2 cm B． cm C． cm D． cm
10．已知m，n是方程x2?2x?1=0的两根，且（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8，则a的值等于（ ）
A． ?5 B． 5 C． ?9 D． 9
二、填空题（每小题4分，共32分）将答案填写在题中横线上.
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若x=2是方程x2?x+a2?3=0的解，则a= ．
13．若实数x、y满足 +（y?2011）2=0，则xy= ．
14．已知菱形的边长和一条对角线的长均为4cm，则菱形的面积为 ．
15．如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD= ．
16．如图，在△ABC中，∠C=120°，CA=CB=6，分别以A，B，C为圆心，以3为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的周长是 ．
17．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为
18．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形折叠，使B点落在AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF，称为矩形ABCD的“折痕三角形”．当折痕△BEF的面积最大时，AE的长为 ．
三、解答题（共9小题，满分78分）
19．计算：（π?1）0+ + ?2 ．
20．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）（x?3）2+（x?3）=0．
21．已知一元二次方程x2?2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）为m选取一个非负整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
22．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求油的最大深度．
23．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）
A B C D E 平均分 标准差
数学 71 72 69 68 70 70
英语 88 82 94 85 76 6
（1）求这五位同学在本次考试中英语成绩的平均分和数学成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成绩?平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AC，AB上，EF∥BC，将△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展开．
（1）求证：四边形AEA′F是菱形；
（2）直接写出当等腰△ABC满足什么条件时，四边形AEA′F将变成正方形？
（3）当点A′恰好落在BC上时，直接写出EF与BC的数量关系．
25．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
26．如图，已知：矩形ABCD中，AD=12，DC=10，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，点G以2cm/s的速度从D点向C点运动．
（1）若点H是AD上一定点，且AH=2，当运动时间t=1时，四边形EFGH的形状是 ．
（2）若点H是AD上一定点，且AH=2，点G点运动多长时间后，AE的长度为8？
（3）如图2，若点H同时也在从A向D以1cm/s的速度运动，连接BF，假设运动的时间为t，求出t为何值时△BEF的面积为25．
27．等腰直角△ABC和⊙O如图①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动．
（1）① 秒后边AB所在的直线与⊙O相切．
②当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，如图②，切点为E，连接OE并延长OE交直线BC于点F，设C′D=x，则FC′= （用含x的代数式表示），求点B移动的距离．
（2）现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
②是否存在某一时刻，△ABC各边刚好与⊙O都相切？若存在，求出刚好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．
2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县新世纪中学九年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）每题有且只有一个正确答案，请把你认为正确的答案前面的字母填入上表相应的空格内.
1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列计算正确的是（ ）
A． 3 ? =3 B． 5 ×5 =5 C． ÷ =2 D． =?6
考点： 二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
分析： 分别利用二次根式的加减以及乘除运算法则进而化简得出即可．
解答： 解：A、3 ? =2 ，故此选项错误；
B、5 ×5 =25 ，故此选项错误；
C、 ÷ = =2，故此选项正确；
D、 =?6，故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次根式的加减以及乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．如果两圆的半径长分别为7和5，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A． 相切 B． 外离 C． 内含 D． 相交
考点： 圆与圆的位置关系．
分析： 由两个圆的半径分别为7和5，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答： 解：∵两个圆的半径分别为3和4，圆心距为5，
又∵7+5=12，7?5=2，2＜3＜12，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选D．
点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4．“爱运动，强身体”，在我校的运动会中，某班一名200米短跑选手赛前进行了刻苦训练，体育老师对他10次训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则需要知道他这10次成绩的（ ）
A． 平均数 B． 方差 C． 众数 D． 中位数
考点： 统计量的选择．
分析： 根据众数、平均数、中位数、方差的概念分析．
解答： 解：平均数、众数、中位数是反映一组数据的集中趋势，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．
故选B．
点评： 此题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB=50°，点D是弧BAC上一点，则∠D的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 80° D． 20°
考点： 圆周角定理．
分析： 欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度数；Rt△ABC中，已知∠ACB的度数，即可求得∠A，由此得解．
解答： 解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°；
∴∠A=90°?∠ACB=40°；
∴∠D=∠A=40°．
故选A．
点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
6．用配方法解方程：x2?4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A． （x?2）2=2 B． （x+2）2=2 C． （x?2）2=?2 D． （x?2）2=6
考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 配方法．
分析： 在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数?4的一半的平方．
解答： 解：把方程x2?4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2?4x=?2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2?4x+4=?2+4，
配方得（x?2）2=2．
故选：A．
点评： 配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A． 1500（1+x）2=980 B． 980（1+x）2=1500 C． 1500（1?x）2=980 D． 980（1?x）2=1500
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
解答： 解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1?x），
则第二次降价后的售价为：1500（1?x）（1?x）=1500（1?x）2，
∴1500（1?x）2=980．
故选C．
点评： 本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是1?x而不是1+x．
8．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（ ）
A． 三角形 B． 平行四边形 C． 矩形 D． 正方形
考点： 图形的剪拼．
分析： 利用等腰梯形的性质，采用排除法进行分析．
解答： 解：A、把等腰梯形沿中位线剪开后形成了两个等腰梯形，不可能拼成三角形，故A选项错误；
B、把等腰梯形沿中位线剪开，然后下半部分不动，上半部分倒转过来，与下半部分拼在一起，得到一个平行四边形，故B选项正确；
C、两个等腰梯形的角不可能为90°，不能拼出矩形，故C选项错误；
D、两个等腰梯形的角不可能为90°，不能拼出正方形，故D选项错误；
故选：B．
点评： 本题主要考查等腰梯形的性质及中位线定理的理解及运用，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，利用实际图形进行剪拼可直观的得到答案．
9．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． 2 cm B． cm C． cm D． cm
考点： 弧长的计算；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 用“此扇形的弧长等于圆锥底面周长”作为相等关系，求圆锥的底面半径．
解答： 解：设圆锥的底面半径为r，
则2πr= ，
所以r= cm．
故选C．
点评： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
10．已知m，n是方程x2?2x?1=0的两根，且（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8，则a的值等于（ ）
A． ?5 B． 5 C． ?9 D． 9
考点： 一元二次方程的解．
分析： 先分别把m，n代入方程得到关于m，n的等式，利用整体思想分别求出7m2?14m=7（m2?2m）=7，3n2?6n=3（n2?2n）=3，代入所求代数式即可求解．
解答： 解：∵m，n是方程x2?2x?1=0的两根
∴m2?2m=1，n2?2n=1
∴7m2?14m=7（m2?2m）=7，3n2?6n=3（n2?2n）=3
∵（7m2?14m+a）（3n2?6n?7）=8
∴（7+a）×（?4）=8
∴a=?9．
故选C．
点评： 本题考查了一元二次方程根的意义．把方程的两个根分别代入原方程等式仍然成立，根据此得到需要的等量关系是常用的方法之一．
二、填空题（每小题4分，共32分）将答案填写在题中横线上.
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤1 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴1?x≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
12．若x=2是方程x2?x+a2?3=0的解，则a= ±1 ．
考点： 一元二次方程的解．
专题： 计算题．
分析： 根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可．
解答： 解：把x=2代入x2?x+a2?3=0得4?2+a2?3=0，
解得a=1或a=?1．
故答案为±1．
点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．若实数x、y满足 +（y?2011）2=0，则xy= ?1 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
专题： 计算题．
分析： 根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答： 解：根据题意得：x+1=0且y?2011=0，
解得：x=?1，y=2011，
则原式=?1．
故答案是：?1．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．已知菱形的边长和一条对角线的长均为4cm，则菱形的面积为 8 cm2 ．
考点： 菱形的性质．
专题： 计算题．
分析： 如图，AC为菱形ABCD的对角线，且AB=AC=4cm，根据菱形的性质得AB=BC=AC，则可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的面积公式可计算菱形的面积．
解答： 解：如图，AC为菱形ABCD的对角线，且AB=AC=4cm，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AC=4cm，
∴△ABC为等边三角形，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2× ×42=8 （cm2）．
故答案为8 cm2．
点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
15．如图，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD= 70° ．
考点： 圆周角定理；垂径定理．
分析： 由CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，根据垂径定理即可得AB⊥CD，又由圆周角定理，可求得∠BDC的度数，继而求得答案．
解答： 解：∵CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，
∴AB⊥CD，
∵∠BDC= ∠BOC= ×40°=20°，
∴∠ABD=90°?∠BDC=70°．
故答案为：70°．
点评： 此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在△ABC中，∠C=120°，CA=CB=6，分别以A，B，C为圆心，以3为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的周长是 3π+6 ?6 ．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 根据图形和弧长的计算公式进行计算即可．
解答： 解：∵∠C=120°，CA=CB，
∴∠A=∠B=30°，AB=6 ，
∴三条弧与AB所围成的阴影部分的周长= + ×2+6 ?6=3π+6 ?6．
故答案为：3π+6 ?6．
点评： 本题考查的是扇形的弧长的计算，掌握弧长的计算公式：l= 是解题的关键．
17．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径为 4或5
考点： 三角形的外接圆与外心；勾股定理．
分析： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
解答： 解：由勾股定理可知：
①直角三角形的斜边长为：8；
②直角三角形的斜边长为： =10．
因此这个三角形的外接圆半径为4或5．
点评： 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
18．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形折叠，使B点落在AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF，称为矩形ABCD的“折痕三角形”．当折痕△BEF的面积最大时，AE的长为 6?3 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 当点F与点C重合时，△BEF的面积有最大值，设AE=x，则DE=6?x，由折叠的性质可知：EC=BC=6，在Rt△EDC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，然后解方程即可求得AE的长．
解答： 解：如图所示：
设AE=x，则ED=6?x，由折叠的性质可知EC=CB=6．
在Rt△EDC中，由勾股定理得：ED2+DC2=EC2，即：（6?x）2+32=62，
解得：x1=6?3 ，x2=6+3 （舍去）．
∴AE=6?3 ．
故答案为：6?3 ．
点评： 本题主要考查的翻折的性质、勾股定理的应用，根据翻折的性质求得EC的长度，然后在Rt△EDC中，由勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
三、解答题（共9小题，满分78分）
19．计算：（π?1）0+ + ?2 ．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
专题： 计算题．
分析： 按照实数的运算法则依次计算；
考查知识点：负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．
解答： 解：原式=1+2+（ ?5）?2
=3+3 ?5?2
= ?2．
点评： 传统的小杂烩计算题．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．
20．解方程：
（1）x2?6x?2=0
（2）（x?3）2+（x?3）=0．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： （1）利用配方法得到（x?3）2=11，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用提公因式把方程左边分解得到（x?3）（x?3+1）=0，则原方程可化为x?3=0或x?3+1=0，然后解两个一次方程即可．
解答： 解：（1）x2?6x=2，
x2?6x+9=11，
（x?3）2=11，
x?3=± ，
所以x1=3+ ，x2=3? ；
（2）（x?3）（x?3+1）=0，
x?3=0或x?3+1=0，
所以x1=3，x2=2．
点评： 本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
21．已知一元二次方程x2?2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）为m选取一个非负整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
考点： 根的判别式．
分析： （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2?4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，
（2）选取范围中的非负整数解代入方程解方程即可．
解答： 解：（1）∵一元二次方程x2?2x+m=0有两个实数根，
∴△=4?4m≥0，
解得m≤1；
（2）把m=0代入x2?2x+m=0得：x2?2x=0，
解得x1=0，x2=2．
点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
22．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求油的最大深度．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 根据垂径定理，易知AC、BC的长；连接OA，根据勾股定理即可求出OC的长，进而可求出CD的值．
解答： 解：如图；连接OA，作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
根据垂径定理，得AC=BC=12cm；
Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；
根据勾股定理，得：
OC= =5cm；
∴CD=OD?OC=8cm；
∴油的最大深度8cm．
点评： 此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解题的关键是正确的构造直角三角形．
23．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）
A B C D E 平均分 标准差
数学 71 72 69 68 70 70
英语 88 82 94 85 76 6
（1）求这五位同学在本次考试中英语成绩的平均分和数学成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成绩?平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
考点： 标准差；算术平均数．
分析： （1）根据算术平均数的计算公式和标准差是方差的算术平方根求出平均数和标准差；
（2）根据标准分的计算公式计算比较得到答案．
解答： 解：（1）五位同学在本次考试中数学成绩的方差为： [（71?70）2+（72?70）2+（69?70）2+（68?70）2+（70?70）2]=2，
则标准差为： ，
五位同学在本次考试中英语成绩的平均分为： （88+82+94+85+76）=85；
（2）A同学数学标准分=（71?70）÷ =
A同学英语标准分（88?85）÷6=0.5，
＞0.5，
∴数学学科考得更好．
点评： 本题考查的是算术平均数和标准差的计算，掌握算术平均数的计算公式和标准差是方差的算术平方根是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AC，AB上，EF∥BC，将△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展开．
（1）求证：四边形AEA′F是菱形；
（2）直接写出当等腰△ABC满足什么条件时，四边形AEA′F将变成正方形？
（3）当点A′恰好落在BC上时，直接写出EF与BC的数量关系．
考点： 翻折变换（折叠问题）；菱形的判定；正方形的判定．
专题： 综合题．
分析： （1）由题意易得△AEF为等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四边形AEA′F是菱形；
（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形；
（3）当点A′恰好落在BC上时，高为一半，则EF是中位线，所以EF= BC．
解答： 解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C，∠B=∠AFE．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，（3分）
∴A′E=AE=AF=A′F，
∴四边形AEA′F是菱形．（5分）
（2）当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形．（7分）
（3）EF= BC．（9分）
点评： 本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析．
25．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题；压轴题．
分析： （1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额?进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
解答： 解：（1）80?x，200+10x，800?200?（200+10x）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 80?x 40
销售量（件） 200 200+10x 800?200?（200+10x）
（2）根据题意，得
80×200+（80?x）（200+10x）+40[800?200?（200+10x）]?50×800=9000
整理得10x2?200x+1000=0，
即x2?20x+100=0，
解得x1=x2=10
当x=10时，80?x=70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价?进价．
26．如图，已知：矩形ABCD中，AD=12，DC=10，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，点G以2cm/s的速度从D点向C点运动．
（1）若点H是AD上一定点，且AH=2，当运动时间t=1时，四边形EFGH的形状是 正方形 ．
（2）若点H是AD上一定点，且AH=2，点G点运动多长时间后，AE的长度为8？
（3）如图2，若点H同时也在从A向D以1cm/s的速度运动，连接BF，假设运动的时间为t，求出t为何值时△BEF的面积为25．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）当t=1时，DG=2，从而得到DG=AH，然后可证明△HDG∽△EAH，由相似三角形的性质可知： ，从而得到GH=HE，又因为四边形EFGH是矩形，故此四边形EFGH是正方形；
（2）由（1）可知：△HDG∽△EAH，由相似三角形的性质可知： ，即： ，从而可求得t= ；
（3）如图3所示：过点F作FM⊥AB．首先证明△HDG≌△FME，从而得到DH=FM=12?t，然后根据△DHG∽△AEH，可知 ，可求得AE=6 ，所以BE=4+ ，接下来利用三角形的面积公式得出三角形BEF的面积与t的函数关系式，利用配方法可求得当t=2时，△BEF的面积有最大值，最大值为25．
解答： 解：（1）∵t=1，
∴DG=2．
∴DG=AH．
∵四边形EFGH为矩形，
∴∠GHE=90°．
∴∠DHG+∠AHE=90°．
∵∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DHG=∠AEH．
又∵∠D=∠A=90°，
∴△HDG∽△EAH．
∴ ．
∴GH=HE．
又∵四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）由（1）可知：△HDG∽△EAH．
∴ ，即： ．
解得t= ．
（3）如图3所示：过点F作FM⊥AB．
由（1）可知：∠DHG=∠AEH．
∵∠AEH+∠FEM=90°，∠FEM+∠EFM=90°，
∴∠HEA=∠EFM．
∴∠DHG=∠EFM．
在△HDG和△FME中，
，
∴△HDG≌△FME．
∴DH=FM．
∵AH=t，DG=2t，
∴DH=12?t．
由（1）可知△DHG∽△AEH．
∴ 即： ．
∴AE=6 ．
∴BE=4+
∴ = = = ．
∴当t=2时，△BEF的面积为25．
点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定、配方法求二次函数的最值的综合应用，证得△HDG≌△FME、△DHG∽△AEH是解题的关键．
27．等腰直角△ABC和⊙O如图①放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动．
（1）① 2.5秒或3.5 秒后边AB所在的直线与⊙O相切．
②当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，如图②，切点为E，连接OE并延长OE交直线BC于点F，设C′D=x，则FC′= x （用含x的代数式表示），求点B移动的距离．
（2）现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位的速度沿BA、BC方向增大．
①若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
②是否存在某一时刻，△ABC各边刚好与⊙O都相切？若存在，求出刚好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）①直接利用圆心O与直线AB的距离为5，以及⊙O的半径为1和△ABC移动的速度求出答案；
②第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点D，连OD并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）①△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，应为AB与圆相切，路程差为6，速度差为1，故从开始运动到最后一次相切的时间为6秒；
②求出⊙O与△A′B′C′第二次相切时运动的时间，连接B′′O并延长交A′′C′′于点P，则B′′P⊥A′′C′′，求出OP的长即可得出结论．
解答： 解：（1）①∵⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5，现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，
∴当移动 =2.5（秒），或 =3.5（秒）时，边AB所在的直线与⊙O相切．
故答案为：2.5秒或3.5；
②如图2，由题意可得：C′D=C′E=x，∠A′C′B′=45°，∠OEC′=90°，
则∠OFD=45°，故EF=EC′=x，
则FC′= x，
∵DO=DF=1，
∴x+ x=1，
解得：x= ?1，
则点B移动的距离为：BB′=CC′=BD?BC?DC′=5?1?（ ?1）=5? ．
故答案为： x；
（2）①设一共经过了t秒，根据题意得：2t?5=t+1，
解得：t=6．
则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过6秒；
②∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，2t+1=t+5，
解得t=4，
∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A′′B′′C′′处，A′′B′′=1+4× =3
如图3，连接B′′O并延长交A′′C′′于点P，则B′′P⊥A′′C′′，且OP= ? = ＜1，
∴此时⊙O与A′′C′′相交，
∴不存在△ABC各边与⊙O都相切．
点评： 本题考查的是圆的综合题，涉及的知识有：圆与直线的位置关系、切线长定理、切线的性质、平移的性质以及等腰直角三角形的性质，利用了数形结合的思想，利用数形结合再利用方程求出是解题关键．