2018中考数学总复习第1编教材知识梳理篇第5章图形的相似

逍遥右脑  2018-09-13 14:14

第五章 图形的相似与解直角三角形
第一节 图形的相似与位似
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2018 15 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形,判定与原三角形相似条件 2 11
 23 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 9 
2018年 13 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形,判定两个图形是否相似 3 3
2018年 11 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景,利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 3 3
2017、2018年均未考查
命题规律 纵观河北近五年中考,本考点共考查了4次,题型有选择题、解答题,分值2~11分,难度中偏下,基础题为主,其中相似三角形的判定和性质考查了3次,相似多边形考查了1次(选择题).
 
河北五年中考真题及模拟
                  

  图形相似的判定及性质
 
1.(2018河北中考)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )
 ,A)  ,B)  ,C)    ,D)
2.(2018年河北中考)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将边长为3,4,5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似. 图①
 
图②
乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是( A )
A.两人都对  B.两人都不对
C.甲对,乙不对  D.甲不对,乙对
  图形的位似
3.(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形,它的位似中心是( D )
 
A.点M  B.点N  C.点O  D.点P
4.(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似,则α的度数是( A )
 
A.87°  B.60°  C.75°  D.120°

 
5.(2017唐山中考模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC,AB上,若∠B=∠ADE,则下列结论正确的个数是( D )
①∠B和∠A互为补角;②∠A和∠ADE互为余角;③△ABC∽△ADE;④如果AB=2AD,则S△ADE∶S△ABC=1∶4;⑤△ABC与△ADE位似.
A.4  B.2  C.1  D.3
6.(2018沧州八中一模)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( A )
A.5∶8  B.3∶8
C.3∶5  D.2∶5

7.(2018石家庄二十八中一模)如图,在 ▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线 于点F,BG⊥AE于点G,BG=42,则△EFC 的周长为( D )
A.11  B.10  C.9  D.8
8.(2018保定中考模拟)在直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),C(0,3),过C作直线交x轴于D,使以D,O,C为顶点的三角形与△AOB相似.这样的直线最多可以作( C )
A.2条  B.3条
C.4条  D.6条
 
9.(2018邯郸一模)如图,在正方形ABCD 中,E为AB的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为( D )
A.4  B.2
C.5  D.3
10.(2018保定十七中一模)下列四组图形中,一定相似的是( D )
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
11.(2018石家庄二十八中一模)如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q.若点P与A,B两点不重合,求DPPQ的值.
 
解:(1)∵∠A=∠C=90°,DB⊥BE,
∴∠ADB+∠ABD=90°,∠ABD+∠EBC=90°.
∴∠ADB=∠EBC.
又AD=BC,∴△ADB≌△CBE(ASA),
∴AB=CE.∴AC=BC+AB=AD+CE;
(2)过点Q作QH⊥BC于点H.
则△ADP∽△HPQ,△BHQ∽△BCE,
∴ADHP=APHQ,BHBC=QHEC.
设AP=x,QH=y,则有BH3=y5,
∴BH=3y5,PH=3y5+5-x,
∴33y5+5-x=xy,即(x-5)•(3y-5x)=0.
又点P不与A,B重合,
∴x≠5,即x-5≠0.
∴3y-5x=0,即3y=5x.
∴DPPQ=xy=35.


12.(2018河北中考)如图①,E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧.
 
(1)AE和ED的数量关系为________;
AE和ED的位置关系为________;
(2)在图①中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,H是B C所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到图②和图③.
①在图②中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中点,求证:GH=HD,GH⊥HD.
②在图③中,点F在BE的延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰好使得GH=HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)
解:(1)AE=ED;AE⊥ED;
(2)①由题意,得∠B=∠C=90°,
AB=BE=EC=DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2,
∴∠GFE=∠B=90°,GF=12AB,EF=12EB,
∴∠GFE=∠C.
∵H是EC的中点,
∴EH=HC=12EC,
∴GF=HC,FH=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC=CD,
∴△HGF≌△DHC.
∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.
∵∠HDC+∠DHC=90°,
∴∠GHF+∠DHC=90°.
∴∠GHD=90°,∴GH⊥HD;
②∵GH=HD,GH⊥HD,
∴∠FHG+∠DHC=90°.
∵∠FHG+∠FGH=90°,∴∠FGH=∠DHC.
在△FGH和△CHD中,
∠FGH=∠CHD,∠GFH=∠HCD,GH=HD,
∴△GFH≌△HCD.∴FG=CH.
∵EF=FG,∴EF=CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1,BC=2,
∴BE=EC=1,
∴EF=k,∴CH的长为k.
 
 ,中考考点清单)

  比例的相关概念及性质
1.线段的比:两条线段的比是两条线段的__长度__之比.
2.比例中项:如果ab=bc,即b2=__ac__,我们就把b叫做a,c的比例中项.
3.比例的性质

性质 内容
性质1 ab=cd⇔__ad__=bc(a,b,c,d≠0).

性质2 如果ab=cd,那么a±bb=c±dd.

性质3 如果ab=cd=…=mn(b+d+…+n≠0),则a+c+…+mb+d+…+n=__mn(不唯一)__.

4.黄金分割:如果点C把线段AB分成两条线段,使ACAB=__BCAC__,那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__,AC是BC与AB的比例中项,AC与AB的比叫做__黄金比__.
  相似三角形的判定及性质
5.定义:对应角__相等__,对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比.
6.性质:
(1)相似三角形的__对应角__相等;
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__,面积比等于__相似比的平方__.
7.判定:
(1)__有两角__对应相等,两三角形相似;
(2)两边对应成比例且__夹角__相等,两三角形相似;
(3)三边__对应成比例__,两三角形相似;
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__,两直角三角形相似.
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路:
(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的判定(1);
 (2)条件中若有一对等角,可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)];
(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;
(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例;
(5)条件中若有等腰条件,可找顶角相等,或找一个底角相等,也可找底和腰对应成比例.

【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例,若已知△ABC∽△DEF,列比例关系式时,对应字母的位置一定要写正确,才能得到正确的答案.
如:ABBC=DEEF,此式正确.那么想一想,哪种情况是错误的呢?请举例说明.

  相似多边形
8.定义:对应角__相等__,对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.
9.性质:
(1)相似多边形的对应边__成比例__;
(2)相似多边形的对应角__相等__;
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比,相似多边形面积的比等于__相似比的平方__.
  位似图形
10.定义:如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上),那么这样的两个图形叫做__位似图形__,这个点叫做__位似中心__,相似比叫做位似比.
11.性质:
(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的 比等于__k或-k__;
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__.
12.找位似中心的方法:将两个图形的各组对应点连接起来,若它们的直线或延长线相交于一点,则该点即是__位似中心__.
13.画位似图形的步骤:
(1)确定__位似中心__;
(2)确定原图形的关键点;
(3)确定__位似比__,即要将图形放大或缩小的倍数;
(4)作出原图形中各关键点的对应点;
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.


  ,中考重难点突破)
  比例的性质
【例1】已知a5=b4=c3,且3a-2b+c=20,则2a-4b+c的值为________.
【解析】比例的性质中常见题型,把a,b,c用含有相同字母的式子表达出来,再代入解方程即可.
【答案】-6
 
1.(2018年沧州十三中一模)若x∶y=1∶3,2y=3z,则2x+yz-y的值是( A )
                  

A.-5  B.-103  C.103  D.5
  相似三角形的判定与性质
【例2】(茂名中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点M从点B出发,在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动,运动时间为t s0<t<103,连接MN.
(1)如图①,若△BMN与△ABC相似,求t的值;
(2)如图②,连接AN,CM,若AN⊥CM,求t的值.
 
【解析】(1)△BMN与△ABC相似,分两种情况:△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA,得对应线段成比例,求得t的值;(2)过点M作MD⊥BC于点D,把BM,DM,BD,CN用t表示后,CD就可用t表示,证得△CAN∽△DCM,得对应线段成比例,得关于t的方程,求出t的值.
【答案】解:(1)由题意知BA=62+82=10(cm),BM=3t cm,CN=2t cm,
∴BN=(8-2t)cm.
①当△BMN∽△BAC时,有BMBA=BNBC,
∴3t10=8-2t8,解得t=2011;
②当△BMN∽△BCA时,有BMBC=BNBA,
∴3t8=8-2t10,解得t=3223.
∴当△B MN与△ABC相似时,t的值为2011或3223;
(2)如图②,过点M作MD⊥CB于点D.
由题意得BM=3t cm,CN=2t cm,
DM=BM•s inB=3t•610=95t(cm),
BD=BM•cosB=3t•810=125t(cm),
∴CD=8-125tcm.
∵AN⊥CM,∠ACB=90°,
∴∠CAN+∠ACM=90°,∠MCD+∠ACM=90°,
∴∠CAN=∠MCD.
∵MD⊥CB,∴∠MDC=∠ACB=90°,
∴△CAN∽△DCM.∴ACCD=CNDM,
∴68-125t=2t95t,解得t=1312.

 
2.如图,不等 长的两对角线AC,BD相交于点O,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形,若OA ∶OC=OB∶OD=1∶2,则关于这四个三角形的关系,下列叙述中正确的是( B )
 
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不相似
3.(自贡中考)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边的中点,求证:DE?12BC.
 
证明:∵D是AB的中点,E是AC的中点,
∴ADAB=12,AEAC=12,
∴ADAB=AEAC.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
∴ADAB=DEBC=12,∠ADE=∠B,
∴BC=2DE,BC∥DE,
即DE?12BC.
  位似图形
 
【例3】(2018承德二中模拟)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14,那么点B′的坐标是( D )
A.(-2,3)
B.(2,-3)
C.(3,-2)或(-2,3)
D.(-2,3)或(2,-3)
【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.
【答案】D
 
4.(2018沧州八中二模)如图, △OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为( B )
 
A.(1,2)
B.(1,1)
C.(2,2)
D.(2,1)
 


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