逍遥右脑 2014-08-12 17:52
2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的垂径定理
1、（2013年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.
A. B. C. D.
答案：D．
考点:垂径定理与勾股定理.
点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.
2、(2013年黄石)如右图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，则 的长为
A. B. C. D.
答案：C
解析：由勾股定理得AB＝5，则sinA＝ ，作CE⊥AD于E，则AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝ ，即 ，所以，CE＝ ，AE＝ ，所以，AD＝
3、(2013河南省)如图，CD是 的直径，弦 于点G，直线 与 相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】
（A） （B） ∥
（C）AD∥BC （D）
【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知： ，又因为 ，所以 ∥ ，即（B）一定正确。因为 所对的弧是劣弧 ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。
【答案】C
4、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10c，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为，且AB=8c，则AC的长为（ ）
A． cB． cC． c或 cD． c或 c
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：分类讨论．
分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答：解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10c，AB⊥CD，AB=8c，
∴A=AB=×8=4c，OD=OC=5c，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5c，A=4c，CD⊥AB，
∴O= = =3c，
∴C=OC+O=5+3=8c，
∴AC= = =4 c；
当C点位置如图2所示时，同理可得O=3c，
∵OC=5c，
∴C=5?3=2c，
在Rt△AC中，AC= = =2 c．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8c，CD=3c，则圆O的半径为（ ）
A． cB．5cC．4cD． c
考点：垂径定理；勾股定理．3718684
分析：连接AO，根据垂径定理可知AC= AB=4c，设半径为x，则OC=x?3，根据勾股定理即可求得x的值．
解答：解：连接AO，
∵半径OD与弦AB互相垂直，
∴AC= AB=4c，
设半径为x，则OC=x?3，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
即x2=42+（x?3）2，
解得：x= ，
故半径为 c．
故选A．
点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．
6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8，桥拱半径OC为5，则水面宽AB为（ ）
A．4B．5C．6D．8
考点：垂径定理的应用；勾股定理．3718684
分析：连接OA，根据桥拱半径OC为5，求出OA=5，根据CD=8，求出OD=3，根据AD= 求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．
解答：解：连接OA，
∵桥拱半径OC为5，
∴OA=5，
∵CD=8，
∴OD=8?5=3，
∴AD= = =4，
∴AB=2AD=2×4=8（）；
故选；D．
点评：此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）
A． B． C． D．
考点：垂径定理；勾股定理
分析：根据垂径定理可得AC=BC= AB，在Rt△OBC中可求出OB．
解答：解：∵OC⊥弦AB于点C，
∴AC=BC= AB，
在Rt△OBC中，OB= = ．
故选B．
点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8C．2 D．2
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题：探究型．
分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r?2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．
解答：解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r?2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r?2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r?2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE= = =6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE= = =2 ．
故选D．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9、（2013•莱芜）将半径为3c的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
考点：圆锥的计算．
分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．
解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，OD=OC=OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB=180°?∠A?∠B=120°
∴弧AB的长为 =2π
设围成的圆锥的底面半径为r，
则2πr=2π
∴r=1c
∴圆锥的高为 =2
故选A．
点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．
10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）
A．10B．8C．5D．3
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：探究型．
分析：连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．
解答：解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD=8，
∴PC=CD=×8=4，
在Rt△OCP中，
∵PC=4，OP=3，
∴OC= = =5．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是
A. 4 B. 5 C . 6 D. 8
12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（ ）
A． B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°
考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．
解答：解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、 = ，正确，故本选项错误；
B、AF=BF，正确，故本选项错误；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．
13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（ ）
A．5B．10C．8D．6
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：探究型．
分析：连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．
解答：解：连接OB，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴BC=AB=×8=4，
在Rt△OBC中，OB= = = ．
故选A．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC= ∠BOD，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．5C．4D．3
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684
专题：探究型．
分析：先根据∠BAC= ∠BOD可得出 = ，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解答：解：∵∠BAC= ∠BOD，
∴ = ，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE= CD=4，
设OD=r，则OE=AE?r=8?r，
在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8?r，
∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8?r）2，解得r=5．
故选B．
点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A.3 B.4 C. D.
分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．
解：如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2，
在Rt△BOD中，OD= = = ．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键
16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8c，水面最深地方的高度为2c，则该输水管的半径为（ ）
A．3cB．4cC．5cD．6c
考点：垂径定理的应用；勾股定理．
分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD= AB，设OA=r，则OD=r?2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．
解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD= AB= ×8=4c，
设OA=r，则OD=r?2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r?2）2+42，
解得r=5c．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx?3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 24 ．
考点：一次函数综合题．
分析：根据直线y=kx?3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
解答：解：∵直线y=kx?3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．
18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时，∠ACP=300.
D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。
19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4 ，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 10π ．
考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题：综合题．
分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△ON为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．
解答：解：
∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，
则BF=FG=2 ，CG=GD=2，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°?90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=2，
过点N作N⊥OF于点，则N=FC=2 ，
在等腰三角形NO中，NO= N=4，
∴OG=ON+NG=6，
在Rt△OGD中，OD= = =2 ，
即圆O的半径为2 ，
故S阴影=S扇形OBD= =10π．
故答案为：10π．
点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．
20、（2013•宁夏）如图，将半径为2c的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 2 c．
考点：垂径定理；勾股定理．3718684
分析：通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
解答：解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，
∵OA=2OD=2c，
∴AD= = = c，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= c．
点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．
21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 28 度．
考点：圆周角定理；垂径定理．3718684
分析：根据垂径定理可得点B是 中点，由圆周角定理可得∠ADB= ∠BOC，继而得出答案．
解答：解：∵OB⊥AC，
∴ = ，
∴∠ADB= ∠BOC=28°．
故答案为：28．
点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 48 度．
考点：垂径定理．
分析：根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°．
故答案为：48．
点评：本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．
23、（2013•黄冈）如图，是CD的中点，E⊥CD，若CD=4，E=8，则 所在圆的半径为 ．
考点：垂径定理；勾股定理．3481324
专题：探究型．
分析：首先连接OC，由是CD的中点，E⊥CD，可得E过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8?x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．
解答：解：连接OC，
∵是CD的中点，E⊥CD，
∴E过⊙O的圆心点O，
设半径为x，
∵CD=4，E=8，
∴C= CD=2，O=8?OE=8?x，
在Rt△OE中，O2+C2=OC2，
即（8?x）2+22=x2，
解得：x= ．
∴ 所在圆的半径为： ．
故答案为： ．
点评：此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 2 ．
考点：垂径定理；勾股定理．
专题：．
分析：连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．
解答：解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD= OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB=2AD=2 =2 =2 ．
故答案为：2 ．
点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O 的半径为 ，CD=4，则弦AC的长为 ．
考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。
分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE= ,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=
26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° ．
考点：圆周角定理；垂径定理．3718684
分析：根据垂径定理可得点B是 中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．
解答：解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，
∴ = ，
∴∠BOD=2∠BAC=80°．
故答案为：80°．
点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 52° 度．
考点：圆周角定理；垂径定理．3718684
分析：由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得： = ，又由圆周角定理，即可求得答案．
解答：解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．
故答案为：52°．
点评：此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，
且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，
直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，
则GE+FH的最大值为 ．
考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，
因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，
所以EF= =3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5
29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限， 与 轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0）， 的半径为 ，则点P的坐标为 ____________.
分析：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP= ，OD=3，
∴PD= = =2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即N的长）为2米，求小桥所在圆的半径。
解析：
（2013•白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．
专题：．
分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；
（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．
解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，
∴OE= =3，
∴EC=OC?OE=5?3=2，
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，
∴tan∠BAC= ==；
（2）AD与⊙O相切．理由如下：
∵半径OC垂直于弦AB，
∵AC弧=BC弧，
∴∠AOC=2∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAE=90°，
∴∠BAD+∠OAE=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD为⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．
31、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P= ，求⊙O的直径．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．
专题：几何综合题．
分析：（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据 = 可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；
（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即 = ，所以可以求得圆的直径．
解答：（1）证明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB= ，
即 = ，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直径为5．
点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．
32、（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3718684
专题：证明题．
分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；
（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD= ，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF
然后把DF=1，AD= ，CF=2代入计算即可．
解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF= AF=1，
∴AD= DF= ，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即 ：AG=1：2，
∴AG=2 ．
点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．
33、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE= AC，再根据翻折的性质可得OE= r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据∠ACD等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解．
解答：解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，
则AE= AC= ×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE= r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，
即r2=12+（ r）2，
解得r= ；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°?∠BAC=90°?25°=65°，
根据翻折的性质， 所对的圆周角等于 所对的圆周角，
∴∠DCA=∠B?∠A=65°?25°=40°．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．