2013年中考数学圆的垂径定理试题汇编

逍遥右脑  2014-08-12 17:52



2013中考全国100份试卷分类汇编
圆的垂径定理
1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为( ).
A. B. C. D.

答案:D.
考点:垂径定理与勾股定理.
点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决.

2、(2013年黄石)如右图,在 中, , , ,以点 为圆心, 为半径的圆与 交于点 ,则 的长为
A. B. C. D.
答案:C
解析:由勾股定理得AB=5,则sinA= ,作CE⊥AD于E,则AE=DE,在Rt△AEC中,sinA= ,即 ,所以,CE= ,AE= ,所以,AD=

3、(2013河南省)如图,CD是 的直径,弦 于点G,直线 与 相切与点D,则下列结论中不一定正确的是【】
(A) (B) ∥
(C)AD∥BC (D)
【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知: ,又因为 ,所以 ∥ ,即(B)一定正确。因为 所对的弧是劣弧 ,根据同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。
【答案】C

4、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=10c,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为,且AB=8c,则AC的长为(  )
 A. cB. cC. c或 cD. c或 c

考点:垂径定理;勾股定理.
专题:分类讨论.
分析:先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
解答:解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10c,AB⊥CD,AB=8c,
∴A=AB=×8=4c,OD=OC=5c,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5c,A=4c,CD⊥AB,
∴O= = =3c,
∴C=OC+O=5+3=8c,
∴AC= = =4 c;
当C点位置如图2所示时,同理可得O=3c,
∵OC=5c,
∴C=5?3=2c,
在Rt△AC中,AC= = =2 c.
故选C.

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8c,CD=3c,则圆O的半径为(  )

 A. cB.5cC.4cD. c

考点:垂径定理;勾股定理.3718684
分析:连接AO,根据垂径定理可知AC= AB=4c,设半径为x,则OC=x?3,根据勾股定理即可求得x的值.
解答:解:连接AO,
∵半径OD与弦AB互相垂直,
∴AC= AB=4c,
设半径为x,则OC=x?3,
在Rt△ACO中,AO2=AC2+OC2,
即x2=42+(x?3)2,
解得:x= ,
故半径为 c.
故选A.

点评:本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般.
 
6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8,桥拱半径OC为5,则水面宽AB为(  )

 A.4B.5C.6D.8

考点:垂径定理的应用;勾股定理.3718684
分析:连接OA,根据桥拱半径OC为5,求出OA=5,根据CD=8,求出OD=3,根据AD= 求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.
解答:解:连接OA,
∵桥拱半径OC为5,
∴OA=5,
∵CD=8,
∴OD=8?5=3,
∴AD= = =4,
∴AB=2AD=2×4=8();
故选;D.

点评:此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.

7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是(  )

 A. B. C. D.

考点:垂径定理;勾股定理
分析:根据垂径定理可得AC=BC= AB,在Rt△OBC中可求出OB.
解答:解:∵OC⊥弦AB于点C,
∴AC=BC= AB,
在Rt△OBC中,OB= = .
故选B.
点评:本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.

8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为(  )

 A.2 B.8C.2 D.2

考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
专题:探究型.
分析:先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r?2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.
解答:解:∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,
∴AC=AB=4,
设⊙O的半径为r,则OC=r?2,
在Rt△AOC中,
∵AC=4,OC=r?2,
∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r?2)2,解得r=5,
∴AE=2r=10,
连接BE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=90°,
在Rt△ABE中,
∵AE=10,AB=8,
∴BE= = =6,
在Rt△BCE中,
∵BE=6,BC=4,
∴CE= = =2 .
故选D.

点评:本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

9、(2013•莱芜)将半径为3c的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为(  )

 A. B. C. D.

考点:圆锥的计算.
分析:过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可.
解答:解:过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,
由折叠的性质可知,OD=OC=OA,
由此可得,在Rt△AOD中,∠A=30°,
同理可得∠B=30°,
在△AOB中,由内角和定理,
得∠AOB=180°?∠A?∠B=120°
∴弧AB的长为 =2π
设围成的圆锥的底面半径为r,
则2πr=2π
∴r=1c
∴圆锥的高为 =2
故选A.

点评:本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.

10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为(  )

 A.10B.8C.5D.3

考点:垂径定理;勾股定理.
专题:探究型.
分析:连接OC,先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长.
解答:解:连接OC,
∵CD⊥AB,CD=8,
∴PC=CD=×8=4,
在Rt△OCP中,
∵PC=4,OP=3,
∴OC= = =5.
故选C.

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是
A. 4 B. 5 C . 6 D. 8


12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是(  )

 A. B.AF=BFC.OF=CFD.∠DBC=90°

考点:垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
分析:根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.
解答:解:∵DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,
∴点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点,
A、 = ,正确,故本选项错误;
B、AF=BF,正确,故本选项错误;
C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误;
D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误;
故选C.
点评:本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般.

13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径(  )

 A.5B.10C.8D.6

考点:垂径定理;勾股定理.
专题:探究型.
分析:连接OB,先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度.
解答:解:连接OB,
∵OC⊥AB,AB=8,
∴BC=AB=×8=4,
在Rt△OBC中,OB= = = .
故选A.

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC= ∠BOD,则⊙O的半径为(  )

 A.4 B.5C.4D.3

考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理.3718684
专题:探究型.
分析:先根据∠BAC= ∠BOD可得出 = ,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论.
解答:解:∵∠BAC= ∠BOD,
∴ = ,
∴AB⊥CD,
∵AE=CD=8,
∴DE= CD=4,
设OD=r,则OE=AE?r=8?r,
在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8?r,
∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(8?r)2,解得r=5.
故选B.
点评:本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.

15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是(  )
A.3   B.4   C.    D.
分析:过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长.
解:如图所示:
过点O作OD⊥AB于点D,
∵OB=3,AB=3,OD⊥AB,
∴BD=AB=×4=2,
在Rt△BOD中,OD= = = .
故选C.

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键

16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8c,水面最深地方的高度为2c,则该输水管的半径为(  )

 A.3cB.4cC.5cD.6c
考点:垂径定理的应用;勾股定理.
分析:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD= AB,设OA=r,则OD=r?2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.
解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,
∵OD⊥AB,
∴AD= AB= ×8=4c,
设OA=r,则OD=r?2,
在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r?2)2+42,
解得r=5c.
故选C.

点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 

17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx?3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 .

考点:一次函数综合题.
分析:根据直线y=kx?3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.
解答:解:∵直线y=kx?3k+4必过点D(3,4),
∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,
∵点D的坐标是(3,4),
∴OD=5,
∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),
∴圆的半径为13,
∴OB=13,
∴BD=12,
∴BC的长的最小值为24;
故答案为:24.

点评:此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.

18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是( )
A、当弦PB最长时,ΔAPC是等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时,PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时,∠ACP=300.
D、当∠ACP=300,ΔPBC是直角三角形。

19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4 ,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .

考点:扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
专题:综合题.
分析:根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△ON为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.
解答:解:

∵弦AB=BC,弦CD=DE,
∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,
∴∠BOD=90°,
过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,
则BF=FG=2 ,CG=GD=2,∠FOG=45°,
在四边形OFCG中,∠FCD=135°,
过点C作CN∥OF,交OG于点N,
则∠FCN=90°,∠NCG=135°?90°=45°,
∴△CNG为等腰三角形,
∴CG=NG=2,
过点N作N⊥OF于点,则N=FC=2 ,
在等腰三角形NO中,NO= N=4,
∴OG=ON+NG=6,
在Rt△OGD中,OD= = =2 ,
即圆O的半径为2 ,
故S阴影=S扇形OBD= =10π.
故答案为:10π.
点评:本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大.

20、(2013•宁夏)如图,将半径为2c的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2  c.

考点:垂径定理;勾股定理.3718684
分析:通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.
解答:解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,
∵OA=2OD=2c,
∴AD= = = c,
∵OD⊥AB,
∴AB=2AD= c.

点评:本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.

21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB= 28 度.

考点:圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:根据垂径定理可得点B是 中点,由圆周角定理可得∠ADB= ∠BOC,继而得出答案.
解答:解:∵OB⊥AC,
∴ = ,
∴∠ADB= ∠BOC=28°.
故答案为:28.
点评:此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 48 度.

考点:垂径定理.
分析:根据点D是弦AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案.
解答:解:∵AB是⊙O的直径,
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D为AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°.
故答案为:48.
点评:本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.

23、(2013•黄冈)如图,是CD的中点,E⊥CD,若CD=4,E=8,则 所在圆的半径为   .

考点:垂径定理;勾股定理.3481324
专题:探究型.
分析:首先连接OC,由是CD的中点,E⊥CD,可得E过⊙O的圆心点O,然后设半径为x,由勾股定理即可求得:(8?x)2+22=x2,解此方程即可求得答案.
解答:解:连接OC,
∵是CD的中点,E⊥CD,
∴E过⊙O的圆心点O,
设半径为x,
∵CD=4,E=8,
∴C= CD=2,O=8?OE=8?x,
在Rt△OE中,O2+C2=OC2,
即(8?x)2+22=x2,
解得:x= .
∴ 所在圆的半径为: .
故答案为: .

点评:此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为 2  .

考点:垂径定理;勾股定理.
专题:.
分析:连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.
解答:解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD= OC=1,
∵OC⊥AB,
∴D为AB的中点,
则AB=2AD=2 =2 =2 .
故答案为:2 .

点评:此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O 的半径为 ,CD=4,则弦AC的长为 .
考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。
分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。
解答:连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE= ,从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=

26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° .

考点:圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:根据垂径定理可得点B是 中点,由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案.
解答:解:∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直,
∴ = ,
∴∠BOD=2∠BAC=80°.
故答案为:80°.
点评:此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 52° 度.

考点:圆周角定理;垂径定理.3718684
分析:由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根据垂径定理的即可求得: = ,又由圆周角定理,即可求得答案.
解答:解:∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,
∴ = ,
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.
故答案为:52°.
点评:此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.

28、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,
且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,
直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,
则GE+FH的最大值为 .
考点:此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接OA,OB,
因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以OA=OB=AB=7,因为E、F中AC、BC的中点,
所以EF= =3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH的最大值为14-3.5=10.5

29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限, 与 轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0), 的半径为 ,则点P的坐标为 ____________.
分析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.
解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,
∵A(6,0),PD⊥OA,
∴OD=OA=3,
在Rt△OPD中,
∵OP= ,OD=3,
∴PD= = =2,
∴P(3,2).
故答案为:(3,2).

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键

30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即N的长)为2米,求小桥所在圆的半径。
解析:

(2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.
(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC;
(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明.

考点:切线的判定;勾股定理;垂径定理.
专题:.
分析:(1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值;
(2)根据垂径定理得到AC弧=BC弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC,由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线.
解答:解:(1)∵半径OC垂直于弦AB,
∴AE=BE=AB=4,
在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,
∴OE= =3,
∴EC=OC?OE=5?3=2,
在Rt△AEC中,AE=4,EC=2,
∴tan∠BAC= ==;

(2)AD与⊙O相切.理由如下:
∵半径OC垂直于弦AB,
∵AC弧=BC弧,
∴∠AOC=2∠BAC,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠AOC=∠BAD,
∵∠AOC+∠OAE=90°,
∴∠BAD+∠OAE=90°,
∴OA⊥AD,
∴AD为⊙O的切线.
点评:本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理.

31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
(1)求证:CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P= ,求⊙O的直径.

考点:圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义.
专题:几何综合题.
分析:(1)要证明CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据 = 可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即可得∠1=∠P;
(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则sin∠CAB=,即 = ,所以可以求得圆的直径.
解答:(1)证明:∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD;

(2)解:连接AC
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB,
∴ = ,
∴∠P=∠CAB,
∴sin∠CAB= ,
即 = ,
又知,BC=3,
∴AB=5,
∴直径为5.

点评:本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键.

32、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.

考点:切线的判定;等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.3718684
专题:证明题.
分析:(1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连结AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF;
(3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1,AD= ,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:AG=DF:CF
然后把DF=1,AD= ,CF=2代入计算即可.
解答:(1)证明:连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点,
∴OC⊥AE,
∵CG∥AE,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;

(2)证明:连结AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠2,
∵AC弧=CE弧,
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
∴AF=CF;

(3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,
∴DF= AF=1,
∴AD= DF= ,
∵AF∥CG,
∴DA:AG=DF:CF,即 :AG=1:2,
∴AG=2 .

点评:本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定.

33、(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.

考点:垂径定理;含30度角的直角三角形;圆周角定理;翻折变换(折叠问题).
分析:(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE= AC,再根据翻折的性质可得OE= r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解;
(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到 所对的圆周角,然后根据∠ACD等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角,计算即可得解.
解答:解:(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,
则AE= AC= ×2=1,
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE= r,
在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,
即r2=12+( r)2,
解得r= ;

(2)连接BC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°?∠BAC=90°?25°=65°,
根据翻折的性质, 所对的圆周角等于 所对的圆周角,
∴∠DCA=∠B?∠A=65°?25°=40°.

点评:本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,(1)作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,(2)根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键.




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