淮安市2013年中考数学试卷解析

一、（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个人选项中，有一项是符合题目要求的．
1．（3分）（2013?淮安）在?1，0．?2，1四个数中，最小的数是（　　）
　A．?1B．0C．?2D．1
考点：有理数大小比较．
分析：根据在有理数中：负数＜0＜正数；两个负数，绝对值大的反而小；据此可求得最小的数．
解答：解：在?1，0．?2，1四个数中，最 小的数是?2；
故选C．
点评：本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
　
2．（3分）（2013?淮安）计算（2a）3的结果是（　　）
　A．6aB．8aC．2a3D． 8a3
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：利用积的乘方以及幂的乘方法则进行计算即可求出答案．
解答：解：（2a）3=8a3；
故选D．
点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的与幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则是解题的关键．
　
3．（3分）（2013?淮安）不等式组 的解集是（　　）
　A．x≥0B．x＜1C．0＜x＜1D． 0≤x＜1
考点：不等式的解集．
分析：根据口诀：大小小大中间找即可求解．
解答：解：不等式组 的解集是0≤x＜1．
故选D．
点评：本题考查了不等式组的解集的确定，解不等式组可遵循口诀：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．
　
4．（3分）（2013?淮安）若反比例函数 的图象经过点（5，?1）．则实数k的值是（　　）
　A．?5B．? C． D．5
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：把点（5，?1）代入已知函数解析式，借助于方程可以求得k的值．
解答：解：∵反比例函数 的图象经过点（5，?1），
∴k=xy=5×（?1）=?5，即k的值是?5．
故选A．
点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
　
5．（3分）（2013?淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（　　）
　A．3πB．4πC．5πD．6π
考点：弧长的计算．
分析：根据弧长的公式l= 进行计算即可．
解答：解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长= =4π．
故选B．
点评：本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可．
　
6．（3分）（2013?淮安）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为 和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有（　　）
　A．6个B．5个C．4个D．3个
考点：实数与数轴；估算无理数的大小．
分析：根据 比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B两点之间表示整数的点的个数．
解答：解：∵1 ＜2，5＜5.1＜6，
∴A、B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个；
故选C．
点评：本题主要考查了无理数的估算和数轴，根据数轴的特点，我们把数和点对应起来，也就是把“数” 和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
　
7．（3分）（2013? 淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（　　）
　A．5B． 7C．5或7D．6
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：因为已知长度为3和1两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答：解：①当3为底时，其它两边都为1，
∵1+1＜3，
∴不能构成三角形，故舍去，
当3为腰时，
其它两边为3和1，
3、3、1可以构成三角形，
周长为7．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
　
8．（3分）（2013?淮安）如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是（　　）
　A．40°B．50°C．80°D．100°
考点：圆周角定理．
分析：在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数．
解答：解：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
∴∠BOC=180°?50°?50°=80°，
∴∠A= ∠BOC=40°．
故选A．
点评：此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
　
二、题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）（2013?淮安）sin30°的值为　 　．
考点：特殊角的三角函数值．
分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．
解答：解：sin30°= ，故答案为 ．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
　
10．（3分）（2013?淮安）方程 的解集是　x=?2　．
考点：解分式方程．
专题：．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：2+x=0，
解得：x=?2，
经检验x=?2是分式方程的解．
故答案为：x=?2
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
　
11．（3分）（2013?淮安）点A（?3，0）关于y轴的对称点的坐标是　（3，0）　．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接写出答案．
解答：解：点A（?3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）．
点评：此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
　
12．（3分）（2013?淮安）一组数据3，9，4，9，5的众数是　9　．
考点：众数．
分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案．
解答：解：这组数据中出现次数最多的数据为：9．
故众数为9．
故答案为：9．
点评：本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
　
13．（3分）（2013?淮安）若n边形的每一个外角都等于60°，则n=　6　．
考点：多边形内角与外角．
分析：利用多边形的外角和360°除以60°即可．
解答：解：n=360°÷60°=6，
故答案为：6．
点评：此题主要考查了多边形的外角和定理，关键是掌握多边形的外角和等于360度．
　
14．（3 分）（2013?淮安）如图，三角板的直角顶点在直线l上，看∠1=40°，则∠2的度数是　50°　．
考点：余角和补角．
分析：由三角板的直角顶点在直线l上，根据平角的定义可知∠1与∠2互余，又∠1=40°，即可求得∠2的度数．
解答：解：如图，三角板的直角顶点在直线l上，
则∠1+∠2=180°?90°=90°，
∵∠1=40°，
∴∠2=50°．
故答案为50°．
点评：本题考查了余角及平角的定义，正确观察图形，得出∠1与∠2互余是解题的关键．
　
15．（3分）（2013?淮安）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC=　6　．
考点：三角形中位线定理．
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
解答：解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6．
故答案为：6．
点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
　
16．（3分）（2013?淮安）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是　（0，1）　．
考点：二次函数的性质．
分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解答：解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
　
17．（3分）（2013?淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是　3　．
考点：菱形的性质．
分析：菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．
解答：解：由题意，知：S菱形= ×2×3=3，
故答案为：3．
点评：本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积= ×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．
　
18．（3分）（2013?淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是　4025x2　．
考 点：单项式．
专题：规律型．
分析：先看系数的变化规律，然后看x的指数的变化规律，从而确定第2013个单项式．
解答：解：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n?1；
x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，
故可得第2013个单项式的系数为4025；
∵ =671，
∴第2013个单项式指数为2，
故可得第2013个单项式是4025x2．
故答案为：4025x2．
点评：本题考查了单项式的知识，属于规律型题目，解答本题关键是观察系数及指数的变化规律．
　
三、解答题（本大题有10小题，共96分．）
19．（10分）（2013?淮安）计算：
（1）（π?5）0+ ??3
（2）3a+（1+ ）? ．
考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂．
分析：（1）首先计算0次幂、开方运算，去掉绝对值符号，然后进行加减运算即可；
（2）首先计算括号内的式子，然后进行运算，最后合并同类项即可．
解答：解：（1）原式=1+2?3
=0；
（2）原式=3a+ ?
=3a+a
=4a．
点评：本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
　
20．（6分）（2013?淮安）解不等式：x+1≥ +2，并把解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
分析：根据不等式的性质得到2（x+1）≥x+4，即可求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来．
解答：解：2（x+1）≥x+4，
2x+2≥x+4，
x≥2．
在数轴上表示为：
点评：本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
　
21．（8分）（2013?淮安）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．
分析：（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；
（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．
解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1 ，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
点评：此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点坐标是解题关键．
　
22．（8分）（2013?淮安）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点0作直线，分别交AD、BC于点E、F．
求证：△AOE≌△COF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．
专题：证明题．
分析：据平行四边形的性质可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF．
解答：证明：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．
点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．
　
23．（10分）（2013?淮安）如图，某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的1000名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜欢的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下：
球类名称乒乓球排球羽毛球足球篮球
人数a123618b
解答下列问题：
（1）本次调查中的样本容量是　120　；
（2）a=　30　，b=　24　；
（3）试估计上述1000名学生中最喜欢羽毛球运动的人数．
考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表．
专题：图表型．
分析：（1）用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值；
（3）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可．
解答：解：（1）∵喜欢排球的有12人，占10%，
∴样本容量为12÷10%=120；
（2）a=120×25%=30人，
b=120?30?12?36?18=24人；
（3）喜欢羽毛球的人数为：1000× =300人．
点评：本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是正确的从统计图中读懂有关信息．
　
24．（10分）（2013?淮安）一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的3只球，球上分别标有2，3，5三个数字．
（1）从这个袋子中任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是　 　；
（2）从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字．将第一次记下的数字作为十位数字，第二次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数．求所组成的两位数是5的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”的方法写出过程）
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）直接根据概率公式解答即可；
（2）首先画出树状图，可以直观的得到共有6种情况，其中是5的倍数的有两种情况，进而算出概率即可．
解答：解：（1）任意摸一只球，所标数字是奇数的概率是： ；
（2）如图所示：共有6种情况，其中是5的倍数的有25，35两种情况，
概率为： = ．
点评：本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
　
25．（10分）（2013?淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
考点：一元二次方程的应用．
分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
解答：解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：
[80?2（x?10）]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当x=30时，80?2（30?10）=40（元）＜50不合题意舍去；
答：她购买了30件这种服装．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键．
　
26．（10分）（2013?淮安）如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．
（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos=∠ACD= ，求⊙0的半径．
考点：切线的判定；解直角三角形．
分析：（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．
解答：解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，
理由是：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAB=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是⊙O切线；
（2）∵CD=6，cos∠ACD= = ，
∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，
∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ = ，
∴ = ，
∴AB=12.5，
∴⊙O半径是 ×12.5=6.25．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
　
27．（12分）（2013?淮安）甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，由待 定系数法根据图象就可以求出解析式；
（2）先根据函数图象求出甲乙的速度，然后与追击问题就可以求出小亮追上小明的时间，就可以求出小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）先根据相遇问题建立方程就可以求出a值，10分钟甲、乙走的路程就是相距的距离，14分钟小明走的路程和小亮追到小明时的时间就可以补充完图象．
解答：解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式为y1=k1x+b，由图象，得
，
解得： ，
∴y1=?200x+2000；
（2）由题意，得
小明的速度为：2000÷40=50米/分，
小亮的速度为：2000÷10=200米/分，
∴小亮从甲地追上小明的时间为24×50÷（200?50）=8分钟，
∴24分钟时两人的距离为：S=24×50=1200，32分钟时S=0，
设S与x之间的函数关系式为：S=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴S=?150x+4800；
（3）由题意，得
a=2000÷（200+50）=8分钟，
当x=24时，S=1200
当x=32时，S=0．
故描出相应的点就可以补全图象．
如图：
点评：本题时一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，追击问题与相遇问题在实际问题中的运用，描点法画函 数图象的运用，解答时灵活运用路程、速度、时间之间的数量关系是关键．
　
28．（12分）（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长 度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．
（1）当ι=　7　时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时 ，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位．
①求s与ι之间的函数关系式；
②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
考点：相似形综合题．
分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；
（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等 腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t?3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．
解答：解：（1）在直角△ABC中，AC= =4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5?4.5=7.5．
根据题意得：（t?4.5）+2（t?4.5）=7.5，解得：t=7．
（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．
则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3?t=2t，解得：t=1．
当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH= PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t?4，则QH= AQ= ．
∵PC=BC?BP=3?t，
∴ × （2t?4）=3?t，
解得：t= ；
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t?3，BQ=2t?9，即AQ=5?（2t?9）=14?2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是： （14?2t），
故s= （2 t?9）× （14?2t）= （?t2+10t?2）．
故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．
∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，
∴PD一定是AC的中垂线．
则AP= AC=2，PD= BC= ，
则S△APD= AP?PD= ×2× = ．
AQ=14?2t=14?2×5=4．
则PC边上的高是： AQ= ×4= ．
则S△PCQ= PC? = ×2× = ．
故答案是：7．


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