变化的快慢与变化率

2.1 变化的快慢与变化率
过程：
一、引入：
1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片
2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的
陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？
3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：
（一）登山问题
例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示
问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？
分析：1、选取平直山路AB放大研究
若
自变量x的改变量：
函数值y的改变量：
直线AB的斜率：
说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（ 为定值）时，垂直距离变化量（ ）越大，则这段山路越陡峭；
2、选取弯曲山路CD放大研究
方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD1的陡峭程度可用直线CD1的斜率表示。（图略）
结论：函数值变化量（ ）与自变量变化量 的比值 反映了山坡的陡峭程度。各段的 不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同。当 越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当 越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。
所以， ??高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率。
三、函数的平均变化率与应用。
（一）定义：已知函数 在点 及其附近有定义，
令 ；
。
则当 时，比值
叫做函数 在 到 之间的平均变化率。
（二）函数平均变化率的应用

例2. 某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”。

问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数 表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？
分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， ，由此可知 ；
2、选择该市2004年4月18日最高气温18.60C与4月20日33.40C进行比较，
，由此可知
结论：函数值的平均变化率 反映了温度变化的剧烈程度。
各段的 不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同。当 越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当 越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓。
（三）课堂练习：
甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图
（1）（2）所示， 试问：（1）甲乙二人哪一个跑得快？
（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快

四、瞬时变化率以及应用:
例3：已知函数 ，分别计算函数在下列区间上的平均变化率。
解：函数 的平均变化率计算公式为：
变化区间自变量改变量
平均变化率

（1，1.1）0.12.1
（1，1.01）0.012.01
(1,1.001)0.0012.001
(1,1.0001)0.00012.0001
………
　　结论：当时间间隔越来越小（ 趋于０）时，平均变化率趋于常数２

　例4：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
　　　解：自由落体的运动公式是 （其中g是重力加速度）.
当 时间增量 很小时，从3秒到（3＋ ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.　
因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋ ）秒这段时间内位移的增量：

从而， .
结论： 越小， 越接近29.4米/秒
当 无限趋近于0时， 无限趋近于29.4米/秒.
（一）定义：
设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，
函数值相应地改变
如果当时，平均变化率 趋近于一个常数 ，
则数称为函数 在点 处的瞬时变化率。
（二）函数瞬时变化率的应用：
例：设一个物体的运动方程是： ，其中 是初速度，时间单位为ｓ，求：ｔ＝２ｓ时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。

五、课堂小结：


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