线性回归方程

1．学习目标：
了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握
回归直线方程的求解方法。
2．学法指导：
①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
【教师在线】
1．解析视屏：
1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。例如正方形的面积S与其边长 之间的函数关系 （确定关系）；
一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）
相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？
引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：
设所求的直线方程为 ，其中a、b是待定系数。
则 ，于是得到各个偏差。

显见，偏差 的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和

表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记 。
上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即

其中
以上方法称为最小二乘法。
2．经典回放：
例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？
（1）电压U与电流I
（2）圆面积S与半径R
（3）自由落体运动中位移s与时间t
（4）粮食产量与施肥量
（5）人的身高与体重
（6）广告费支出与商品销售额
分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。
对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。
人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。
广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：
ｘ45424648423558403950
y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72
ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。
解：（１）见下图

（２）

设回归直线为 ，
则 ，
所以所求回归直线的方程为 ，图形如下:

点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数 ；计算 的积，求 ；计算 ；将结果代入公式求ａ；用 求ｂ；写出回归方程。
【同步训练】
1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（　　　）
A．角度和它的余弦值B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高
2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x，则下列说法中正确的是 （ ）
A．劳动生产率为1000元时，月工资为130元
B．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元
C．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元
D．月工资为210元时，劳动生产率为2000元
3．设有一个回归方程为y=2-1.5x，则变量x每增加一个单位时，y平均 （ ）
A．增加1.5单位 B．增加2单位 C．减少1.5单位 D．减少2单位
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg左右。
5.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x15202530354045
水稻产量y330345365405445450455
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形
【拓展尝新】
6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间t(s)5101520304050607090120
深度y(μm)610101316171923252946
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
【解答】
1． D 2．C 3．C 4．69.66
5．解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i1234567
xi15202530354045
yi330345365405445450455
xiyi49506900912512150155751800020475
,
故可得到 。
6．解：(1)散点图略，呈直线形.
(2)经计算可得：

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