互斥事件有一个发生的概率

逍遥右脑  2014-04-04 09:21

人教版高中数学必修系列:11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)
一、参考例题
[例1]判断下列事件是否是互斥事件.
(1)将一枚硬币连抛2次,设事件A:“两次出现正面”,事件B:“只有一次正面”;
(2)对敌机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A:“两次都击中敌机”,
事件B:“至少有一次击中敌机”.
分析:(1)中两事件不可能同时发生;
(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”,所以事件A、B有可能同时发生.
解:(1)事件A与B是互斥事件.
(2)事件A与B不是互斥事件.
评述:关键在于判断事件的结果是否有包容关系.
[例2]在一个袋内装有均匀红球5只,黑球4只,白球2只,绿球1只,今从袋中任意摸取一球,计算:
(1)摸出红球或黑球的概率.
(2)摸出红球或黑球或白球的概率.
分析:(1)设事件A:“摸出一球是红球”,事件B:“摸出一球是黑球”.
因为事件A与B不可能同时发生,所以它们是互斥的.
(2)设事件C:“摸出一球是白球”,则A、B、C彼此互斥.
解:设事件A:“摸出一球是红球”,设事件B:“摸出一球是黑球”,设事件C:“摸出一球是白球”.
∵A与B、B与C、C与A两两互斥,
且P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,
∴(1)由互斥事件的概率加法公式,可知“摸出红球或黑球”的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)= .
(2)由互斥事件的概率加法公式,可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) = .
[例3]某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下.
医生人数012345人以上
概率0.10.160.30.40.20.04
求:(1)派出医生至多2人的概率;
(2)派出医生至少2人的概率.
分析:设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名以上医生”为事件F,则有P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.4,P(E)=0.2,P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥,因此,(1)、(2)中的概率可求.
解:设事件A:“不派出医生”,事件B:“派出1名医生”,事件C:“派出2名医生”,事件D:“派出3名医生”,事件E:“派出4名医生”,事件F:“派出5名以上医生”.
∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥,且 (A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.4,
P(E)=0.2,P(F)=0.04,
∴“派出医生至多2人”的概率为
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56,
“派出医生至少2人”的概率为
P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F) =0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.
[例4]一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽取2件,求其中出现次品的概率.
分析:由于从这批产品中任意取2件,出现次品可看成是两个互斥事件A:“出现一个次品”和事件B:“出现两个次品”中,有一个发生,故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.
解:设事件A:“出现一个次品”,
事件B:“出现两个次品”,
∴事件A与B互斥.
∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,
∴P(A)= = ,
P(B)= .
∴所求的“出现次品”的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B) = .
评述:注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.
二、参考练习
1.选择题
(1)有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为
A. B.
C. D.
答案:D
(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球,3个黑球,5个红球,从中任取1球是白球或黑球的概率为
A. B.
C. D.
答案:B
(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种,在一般的情况下,出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%,其余均为三等品,那么这批产品中出现非三等品的概率为
A.0.50B.0.98
C.0.97D.0.2
答案:B
(4)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取两个数,分别有下列事件,其中为互斥事件的是
①恰有一个奇数和恰有一个偶数 ②至少有一个是奇数和两个数都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个数都是偶数 ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数
A.①B.②④
C.③D.①③
答案:C
2.填空题
(1)若事件A与B________,则称事件A与B是互斥的;若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1+A2+…+An)=________.
答案:不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)
(2)甲、乙两人下棋,两个下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙输的概率是________.
答案:
(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中红球有45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.
答案:0.32
(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个,则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.
答案:
3.解答题
(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:
年降水量(单位:mm)[100,150][150,200][200,250][250,300]
概率0.100.250.200.12
求:①降水量在[200,300]范围内的概率;
②降水量在[100,250]范围内的概率.
解:①P=0.20+0.12=0.32,
∴降水量在[200,300]范围内的概率为0.32.
②P=0.10+0.25+0.20=0.55,
∴降水量在[100,250]范围内的概率为0.55.
(2)从装有大小相同的4个红球,3个白球,3个黄球的袋中,任意取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率.
分析:“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.
解:记“取出2个球为红球”为事件A,
“取出2个球为白球”为事件B,
“取出2个球为黄球”为事件C,
则A、B、C彼此互斥,
且P(A)= ,
P(B)= ,
P(C)= .
“2个球颜色相同”则可记为A+B+C,
∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= .
(3)有币按面值分类如下:壹分5枚,贰分3枚,伍分2枚,从中随机抽取3枚,试计算:
①至少有2枚币值相同的概率;
②3枚币值的和为7分的概率.
分析:①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;
②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分,2枚壹分”1种情况.
解:①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A,则“至少有2枚币值相同”为事件 .
又∵P(A)= ,
∴P( )=1- .
②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)= .
评述:要注意认真分析题意,灵活应用对立事件的概率公式.
●备课资料?
一、参考例题
[例1]抛掷一个均匀的正方体玩具,记事件A“落地时向上的数是奇数”,B为事件“落地时向上的数是偶数”,C为事件“落地时向上的数是3的倍数”,问下列事件是不是互斥事件,是不是对立事件?
(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.
分析:利用互斥事件与对立事件的概念.
解:(1)∵事件A与事件B不可能同时发生,而且在试验中必有一个发生,
∴事件A与B是互斥事件,也是对立事件.
(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”,故A与C可能同时发生.
∴A与C不是互斥事件,因而也不是对立事件.
(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”,故B与C可能同时发生.
∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.
[例2]某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19,计算这一射手在一次射击中,不够8环的概率.
分析:由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件,而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求,因此利用对立事件的概率公式可求解.
解:设事件A:“一次射击击中的不够8环”,事件B:“一次射击击中8环或8环以上”,
∴事件A与B是互斥事件.
∵事件A与B中必有一个发生,
∴事件A与B又是对立事件.
∴P(A)=1-P(B).
∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0.71.
∴P(A)=1-0.71=0.29.
∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.
评述:注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.
[例3]有三个人,每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间,试求:
(1)三人都分配到同一个房间的概率;
(2)至少有两人分配到同一房间的概率.
分析:(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间,所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现,而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果,故根据等可能性的概率公式可求.
(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,
事件B“三人都分配到不同的房间”,
故事件A与B是对立事件.而P(B)= ,
因此,利用对立事件的概率关系可求P(A).
解:(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为
P= .
∴三人都分配到同一房间的概率为 .
(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”.
∵事件A与B是对立事件,且P(B)= ,
∴P(A)=1- .
∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .
[例4]某电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任意取3个,试求至少有一个二级品的概率.
分析:设事件A:“至少有一个二级品”,则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生,因而,可用互斥事件的概率加法公式计算.另外,事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件,故利用对立事件的概率公式也可求解,且比较简便.
解法一:设事件A:“至少有一个二级品”,它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生,由于上述三个事件是互斥的,
∴P(A)= ≈0.276.
解法二:事件A与“没有一个二级品”是对立事件,而事件“没有一个二级品”的概率为 ,
∴P(A)=1- ≈0.276.
∴至少有一个二级品的概率约为0.276.
[例5]某小组有男生6人,女生4人,现从中选出2人去校院开会,其中至少有1名女生的概率为多少?
分析:设事件“至少有1名女生”为A,则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的,所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件,而事件“没有女生”的概率P= .
解法一:P(A)= .
解法二:P(A)=1-P( )=1- = ,
∴至少有1名女生的概率是 .
二、参考练习
1.选择题
(1)下列命题中,真命题的个数是
①将一枚硬币抛两次,设事件A:“两次出现正面”,事件B:“只有一次出现反面”,则事件A与B是对立事件 ②若事件A与B为对立事件,则事件A与B为互斥事件 ③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B为对立事件 ④若事件A与B为对立事件,则事件A+B为必然事件
A.1B.2
C.3D.4
答案:B
(2)袋中装白球和黑球各3个,从中任取2球,则至多有1黑球的概率是
A. B.
C. D.
答案:B
2.填空题
(1)在10件产品中有8件一级品,2件二级品,现从中任选3件,设事件A:“所取的都是一级品”,则事件 表示为________.
答案:所取的不都是一级品
(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一球,摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5,那么摸出白球的概率是________.
答案:0.2
3.解答题
(1)某班有学生50名,其中班干部5名,现从中选出2名作为学生代表,求:
①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;
②选出的2名学生中没有班干部的概率.
解:①P=1- .
②P= .
(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面,按不同次序排列可组成不同的信号,并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号,求:
①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;
②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.
解:①P= = ;
②P=1- .
(3)某班共有学生n(n≤50)个人,若一年以365天计算,列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.
解:记“至少有2人在同一天生日”为事件A,则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件,即 . ∵P( )= ,
∴P(A)=1- .
(4)某单位的36人的血型分别是:A型的有12人,B型的有10人,AB型的有8人,O型的有6人,如果从这个单位随机地找出两个人,那么这两个人具有不同的血型的概率是多少?
解:记“两个人具有不同血型”为事件A,则“两个人血型相同”为事件A的对立事件,即 ,且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件,这些互斥事件只要有一个发生,则 发生,而
P( )= ,
∴P(A)=1-P( )=1- .
(5)一个袋内装有3个红球,n个白球,从中任取2个,已知取出的球至少有一个是白球的概率是 ,求n的值.
解:记“至少有一个是白球”为事件A,则“任取2球,全是红球”是事件A的对立事件,即 .
又∵P( )= ,
由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1,得P(A)=1- = ,
即n2+5n-204=0.

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