导数的概念

2.2.1 导数的概念

一、过程：
环节

内 容

师生活动

设计意图
一

复

习

引

入

提

出

问

题
【回顾1】

当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为： ，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？

【回顾2】

已知曲线C是函数 的图象,求曲线上点P 处的切线斜率.

【思考】对瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？
学生相互交流探讨瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.
针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情境，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.

类
比
探
索

形
成
概
念

①归纳共性 揭示本质

研究

对象

求解问题

求解方法

本质

思想

具体例子

物体运动规律

H=h(t)

物体在 时

的瞬时速度

求时间

增量

求位移

增量

求平均

速度

求瞬时速度

平均速度

的极限

极限

思想

曲线

y=f(x)

曲线上P

点处切线的斜率

求横坐标

增量

求纵坐标

增量

求割线的

斜率

求切线的斜率

割线斜率

的极限

极限

思想

一般情形

函数

y=f(x)

函数在

处的变化率

？

？

？

？

？

？

【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.

【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.

教学环节

内 容

师生活动

设计意图

类
比
探
索

形
成
概
念

②类比迁移 形成概念

【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点 到 + 之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点 处的变化率？

引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质.
引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点 处的变化率

= ,并对猜想的合理性进行分析后，引出

定义1：（函数在一点处可导及其导数）

用具体到抽象，特殊到一般的思维方式，利用瞬时速度进行类比迁移，自然引出函数在一点处可导和导数的概念.

由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理解.
类
比
探
索
形
成
概
念

③剖析概念 加深理解

【探讨1】 怎样判断函数在一点是否可导？



判断函数 在点 处是否可导

转化

判断极限 是否存在

【探讨2】导数是什么？

描述角度

本 质

文字语言

瞬时变化率

符号语言

图形语言

（切线斜率）

组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.

分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.
引导学生以数学语言（文字语言、符号语言 、图形语言）的理解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.
让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值.
教学环 节

内 容

师生活动

设计意图

类
比
探
索
形
成
概
念
【探讨3】求导数的方法是什么？


【例1】求函数y=x2在点 处的导数.


让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数 在点 处导数的方法步骤：

（1）求函数的增量；

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数.


学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如 忘写括号的现象加以纠正.
用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.

本题是教材上的一道例题.在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.

引

申

拓

展

发

展

概

念
利用例1继续设问，函数在 处可导，那么 ， ， 这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：（函数在开区间 内可导）

【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？
【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？



师生互动，共同探讨归纳函数在开区间 的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间 内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做 在开区间 内的导函数。它的定义域是

通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导 函数在开区间内可导 函数在开区间内的导函数的两次拓展.

教学环 节

内 容

师生活动

设计意图

引
申
拓
展
发
展
概
念

【探讨3】怎样求新函数的解析式？

探讨后引出定义3：（函数 在开区间 内的导函数）

【例2】已知y= ，求（1）y′;（2）y′x=2.

开区间 ，对应法则是对开区间内每一点求导.运用函数思想，只要把求一点处的导数 替换成 ，就可以求出导函数的解析式.

分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，相互交流。书面总结出两小问的区别与联系，选出代表作品用投影仪全班交流.完善后，屏幕显示形成共识：

【区别】（1）函数 在点 处的导数，是在点 处的变化率，是一个常数；

（2）函数 的导数是对开区间内任意点 而言，是 在开区间内任意点 的变化率，是一个函数.

【联系】一般而言， 在 处的导数就是导函数 在 = 处的函数值，表示为 ，这也是求 的一种方法.

本例共两个小问，第(1)小问是教材上的一道例题, 第(2)小问是补充题.两问都是求导数，但它们有本质上的区别！学生容易产生混淆.通过此题让学生辨清“函数 在一点处的导数”、“函数 在开区间内的导数”与“导数”三者的关系.

教学

环节

内 容

设计意图

练

习

反

馈

巩

固

概

念

练习：

1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′x=2.

2．设函数f(x)在x0处可导，则 等于

A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0)

3． 已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t

（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；

（2）求物体在t时刻的瞬时速度；

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

设计练习1，巩固求导方法； 设计练习2，通过适当的变式训练，揭示概念的内涵，提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性；设计练习3，体验实际应用，展示概念的外延，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活.通过练习，反馈学生对知识技能的掌握情况，以便及时调节教学，更好的达成教学目标.

小

结

整

理

形

成

系

统



①知识层面 ：
②方法层面：用定义求导数的三个步骤

③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想

④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决）.

引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想，培养应用意识.

分

层

作

业

深

化

概

念

必做题：1.教材 习题3.1 1、2、3、4、5

2. 已知f(3)=2， 则 的值为（ ）

（A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在

3.已知曲线C是函数 的图象

（1）求点A(1,3)处的切线的斜率

（2）求函数在x=1处的导数

选做题： 1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时代背景和历史意义的资料并交流讨论.

2.函数 =x在x=0处是否可导？

3.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条 D.既不充分也不必要条件
弹性的分层作业，照顾到各种层次的学生.补充的必做3，为下节课研究导数的几何意义打下伏笔.可导与连续的关系，设计成选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.利用网络，便于学生开展自主学习，拓展学习方式和平台.
二、板书设计（板书附后）
【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.

板书设计：

辨析： f ′(x0) 与 f ′(x)

课堂小结

函数在开区间内的导函数

导数

定义1

定义2

定义3

函数在点x可导及导数

函数在开区间内可导

例1．。。。。。。。

电子屏幕

例2.。。。。。。。。。。

课堂练习

导数的概念（第三课时）
布置作业

三、【教学反思】

一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象.本课设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力.把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.以上，体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教；教学中不是重结论，而是重过程和方法；不是采用接受式的学习方式，而是采用探究、交流的方式；不是统一要求，而是因材施教尊重个体差异.这样的设计符合学生认知规律，促进了个性化学习，更好地实现了教学目标.

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