圆锥曲线

若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求 的最小值。
例1. 已知椭圆 内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求 的最小值。
分析：注意到式中的数值“ ”恰为 ，则可由椭圆的第二定义知 等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为 。
二、 的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求 的最值。
例2. 已知椭圆 内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求 的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为 ，可知其坐标为（3，0）

图1
由椭圆的第一定义得：

可知，当P为 的延长线与椭圆的交点时， 最大，最大值为 ，当P为 的延长线与椭圆的交点时， 最小，最小值为 。
故 的最大值为 ，最小值为 。
三、 的最值
若A为椭圆C外一定点， 为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到 的距离为d，求 的最小值。
例3. 已知椭圆 外一点A（5，6）， 为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到 的距离为d，求 的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为

图2
根据椭圆的第二定义有： ，即

可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时， 最小，最小值 。
故 的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4. 定长为 的线段AB的两个端点分别在椭圆 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线 的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作 于A”，BB”⊥ 于B”，MM”⊥ 于M”

图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为 。

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