逍遥右脑 2016-01-07 09:17
第二十六章二次函数章末测试（四）
总分120 分120分钟
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．如图，Rt△OAB的顶点A（?2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
（1题） （2题） （3题）
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C． a+b+c=0 D． 当x＜1时，y随x的增大而减小
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 当?1＜x＜3时，y＞0 D． ?
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
6．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
7．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二．填空题（共6小题，每题3分）
9． 2015年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系 ，则羽毛球飞出的水平距离为 _________ 米．
（9题） （10题）
10．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 _________ m．
11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（?1，?6）两点，则a+c= _________ ．
12．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 _________ ．
（12题） （13题）
13．如图，抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 _________ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= 于点B、C，则BC的长值为 _________ ．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
16．（6分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是y= _________ ；
（2）当x= _________ 时，y=3；（3）根据图象回答：当x _________ 时，y＞0．
17．（6分）已知抛物线y=?x2+2x+2．
（1）该抛物线的对称轴是 _________ ，顶点坐标 _________ ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
y
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．
18．（8分）如图，已知抛物y=?x2+bx+c过点C（3，8），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，5）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求该抛物线的顶点M的坐标，并求四边形ABMD的面积．
19．（8分）如图，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值 ．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以 cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．
21（8分）．如图，抛物线y=a（x?1）2+4与x轴交于点A，B ，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（?1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
22. （8分）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为4 0元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式： _________
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
23（10分）．某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察 并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
24（10分）．如图，对称轴为直线x=?1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（?3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
第二十六章二次函数章末测试（四）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，Rt△OAB的顶点A（?2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
考点： 二次函数综合 题．
专题： 综合题．
分析： 首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；
解 答： 解：∵Rt△OAB的顶点A（?2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=a×（?2）2，
解得：a=1
∴解析式为y=x2，
∵Rt△OAB的顶点A（?2，4），
∴OB=OD=2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=± ，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（ ，2）
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一个根
C． a+b+c=0 D． 当x＜1时，y随x的增大而减小
考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=?1，x=3；根据图象可得x=1时，y＞0；根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．
解答： 解：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；
B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（?1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；
C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；
D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口； 当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△=b2?4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2?4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2?4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 当?1＜x＜3时，y＞0 D． ?
考点 ： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题；存在型．
分析： 根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故本选项错误；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2?4ac＞0，故本选项错误；
C、由函数图象可知，当?1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；
D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（?1，0），（3，0），∴对称轴x=? = =1，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
解答： 解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x=? ＞0，
∴b＜0，
∵ 与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数y= 图象在第一三象限，
只有B选项图象符合．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
5．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
解答： 解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（?2，?1），
所得抛物线为=3（x+2）2?1．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
6．二次函数y=ax2+ bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
解答： 解：∵x=?3和?1时的函数值都是?3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=?2，
∴顶点坐标为（?2，?2）．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．
7．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解答： 解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向 向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 二次函数图象与系数的关系．
专题： 压轴题．
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2?4ac＞0，正确；
（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c＜1，错误；
（3）∵对称轴在?1的右边，∴? ＞?1，又a＜0，∴2a?b＜0，正确；
（4）当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；
故错误的有1个．
故选：A．
点评： 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二．填空题（共6小题）
9．2015年5月26日，中国羽毛球队蝉联 苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系 ，则羽毛球飞出的水平距离为 5 米．
考点： 二次函数的应用．
分析： 根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离，进而求出即可．
解答： 解：当y=0时，0=? x2+ x+ ，
解得：x1=?1，x2=5，
故羽毛球飞出的水平距离为5m．
故答案为：5．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出图象与x轴交点坐标是解题关键．
10．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 48 m．
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 首先建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出．
解答： 解：如图所示，建立平面直角坐标系．
设AB与y轴交于点H，
∵AB=36，
∴AH=BH=18，
由题可知：
OH=7，CH=9，
∴OC=9+7=16，
设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，
∵顶点C（0，16），
∴抛物线y=ax2+16，
代入点（18，7）
∴7=18×18a+16，
∴7=324a+16，
∴324a=?9，
∴a=? ，
∴抛物线：y=? x2+16，
当y=0时，0=? x2+16，
∴? x2=?16，
∴x2=16×36=576
∴x=±24，
∴E（24，0），D（?24，0），
∴OE=OD=24，
∴DE=OD+OE=24+24=48，
故答案为48．
点评： 本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题．
11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（?1，?6）两点，则a+c= ?2 ．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 把两点的坐标代入二次函数的解析式，通过①+②，得出2a+2c=?4，即可得出a+c的值．
解答： 解：把点（1，2）和（?1，?6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=?4，
则a+c=?2；
故答案为：?2．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是通过①+②，得到2a+2c的值，再作为一个整体出现，不要单独去求a，c的值．
12．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 ?2＜k＜ ．
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立 消掉y得，
x2?2x+2k=0，
△=（?2）2?4×1×2k=0，
即k= 时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（ ， ），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时， ×4+k=0，
解得k=?2，
∴要使抛物线y= x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是?2＜k＜ ．
故答案为：?2＜k＜ ．
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．
13．如图，抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 12 ．
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．
解答： 解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，
由题意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形，
∵抛物线的顶点为P（?2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠ AOP=45°，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4 × =12．
故答案为：12．
点评： 此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出AD，PP′是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y= 于点B、C，则BC的长值为 6 ．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题．
分析： 先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y= ，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．
解答： 解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时， =3，
解得x=±3，
∴B点坐标为（?3，3），C点坐标为（3，3），
∴BC=3?（?3）=6．
故答案为6．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．
三．解答题（共10小题）
15．已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
考点： 二次函数的定义．
专题： 存在型．
分析： 先根据二次函数的定义求出m的值，再把m的值代入函数的解析式即可．
解答： 解：∵ 是x的二次函数，
∴ ，解得m=3或m=?1，
∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
点评： 本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）这个二次函数的解析式是y= x2?2x ；
（2）当x= 3或?1 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x ＜0或＞2 时，y＞0．
考点： 二次函数的图象．
分析： （1）易知顶点为（1，?1）；那么可设顶点式y=a（x?1）2?1再把（0，0）代入求a．
（2）把y=3代入抛物线解析式即可．
（3）函数值大于 0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值．
解答： 解：（1）由图可知顶点坐标为（1，?1），设y=a（x?1）2?1，
把点（0，0）代入，得0=a?1，即a=1，
所以y=（x?1）2?1=x2?2x．
（2）当y=3时，x2?2x=3，解得x=3或x=?1．
（3）由图可知，抛物线与x轴两 交点为（0，0），（2，0），开口向上，
所以当x＜0或x＞2时，y＞0．
点评： 本题考查用待定系数法求二次函数解析式；会根据所给的函数值得到相应的自变量的值及取值．
17．已知抛物线y=?x2+2x+2．
（1）该抛物线的对称轴是 x=1 ，顶点坐标 （1，3） ；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
y
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．
考点： 二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题；图表型．
分析： （1）代入对称轴公式 和顶点公式（? ， ）即可；（2）尽量让x选取整数值，通过解析式可求出对应的y的值，填表即可；（3）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着x的增大而减少，因此y1＜y2．
解答： 解：（1）x=1；（1，3）
（2）
x … ?1 0 1 2 3 …
y … ?1 2 3 2 ?1 …
（3）因为在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．
点评： 二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题．
18．如图，已知抛物y=?x2+bx+c过点C（3，8），与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D（0，5）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）求该抛物线的顶点M的坐标，并求四边形ABMD的面积．
考点： 二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式．
专题： 计算题．
分析： （1）将C（3，8），D（0，5）两点坐标代入y=?x2+bx+c中求b、c即可；
（2）由二次函数解析式求M点坐标，根据S四边形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB求面积．
解答： 解：（1）根据题意，得C=5
?9+3b+c=8（2分）
∴b=4，c=5．（3分）
∴这个二次函数的关系式为：y=?x2+4x+5；
（2）y=?x2+4x+5的顶点坐标为M（2，9），
令y= 0，?x2+4x+5=0得x1=5，x2=?1，
A（?1，0）B（5，0），
∴S四边形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB
= + + =30．
点评： 本题考查了二次函数解析式的求法，坐标系中求图形的面积．关键是根据已知点的坐标，将四边形分割为两个三角形与一个梯形的面积和．
19．如图，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．
考点： 二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；
（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而 可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中， ， ，
得 ，
∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴ ；
设PC=x，则 ， ，
∴
∴当x=2时，y的最大值是1． （8分）
点评： 此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以 cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．
考点： 二次函数的最值；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： （1）此题有两种解法：①由于PE∥CD，易证得△APE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PE的长，②根据∠A的正切值求解．
（2）当Q在线段CD上运动时，0＜x＜2.4，若四边形PEDQ是平行四边形，则PE=DQ1，可用x表示出DQ1的长，联立PE的表达式列方程求出x的值．
（3）当Q在线段BD上运动时，四边形EPDQ是梯形，DQ、CP的长易求得，即可根据梯形的面积公式求得关于四边形EPDQ的面积与x的函数关系式，根据函数的性质即可得到四边形EPDQ的最大面积．
解答： 解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴ = ，
∴ = ，（3分）
∴ ．（4分）
（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）
即 x=3? x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）
（3）S四边形EPDQ2= （ x+ x?3）•（4?x）（9分）
=?x2+ x?6=?（x? ）2+ ，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴当x= 时，S取得最大值，最大值为 ．（13分）
点评： 此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、梯形的面积以及二次函数最值的应用；在求图形面积的最大或最小值时，通常转化为二次函数的最值问题进行求解．
21．如图，抛物线y=a（x?1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（?1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
专题： 计算题．
分析： （1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
（2）抛物线解析式令x=0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y=0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
解答： 解：（1）将A（?1，0）代入y=a（x?1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=?1，
则抛物线解析式为y=?（x?1）2+4；
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=?（x?1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（?1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形OCDB= =6．
点评： 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接写出y与x的函数关系式： y=?10x+1000
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价?进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
解答： 解：（1）设y=kx+b，
由题意得， ，
解得： ，
则函数关系式为：y=?10x+1000；
（2）由题意得，S=（x?40）y=（x?40）（?10x+1000）
=?10x2+1400x?40000=?10（x?70）2+9000，
∵?10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）当购进该商品的贷款为10000元时，
y= =250（件），
此时x=75，
∴35×250=8750，
即该商家最大捐款数额是8750元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
23．某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据z=（x?20）y?40得出z与x的函数关系式，求出即可；
（3）首先求出40=? （x?50）2+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值 范围．
解答： 解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则 ，
解得： ，
故函数解析式为：y=? x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x?20）y?40
=（x?20）（? x+8）?40
=? x2+10x?200，
=? （x2?100x）?200
=? [（x?50）2?2500]?200
=? （x?50）2+50，
故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即? （x?50）2+50=40，解得：x 1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数y=? （x?50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=? x+8，y随x的增大而减少，
因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
点评 ： 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
24．如图，对称轴为直线x=?1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（?3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
考点： 二次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=?1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（?3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=?1，求出b的值，再 将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x?3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x?3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解 析式为y=?x?3，再设Q点坐标为（x，?x?3），则D点坐标为（x，x2+2x?3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=?1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=?1对称，
∵点A的坐标为（?3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=?1，
∴ =?1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=?3．
则二次函数的解析式为y=x2+2x?3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，?3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x?3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x2+2x?3=16+8?3=21；
当x=?4时，x2+2x?3=16?8?3=5．
所以点P的坐标为（4，21）或（?4，5）；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（?3，0），C（0，?3）代入，
得 ，解得 ，
即直线AC的解析式为y=?x?3．
设Q点坐标为（x，?x?3）（?3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x?3），
QD=（?x?3）?（x2+2x?3）=?x2?3x=?（x+ ）2+ ，
∴当x=? 时，QD有最大值 ．
点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．