2015中考数学压轴题动态几何之直角三角形存在性问题专题试题

 
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
   动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写直角三角形存在性问题模拟题。
在中考压轴题中，直角三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，CD=1cm，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，至A点结束，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为         秒。
 
【答案】 或 或 或 。
【考点】单动点问题，相等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，∴∠ABC=45°，AB= （cm）。
∵BC=4cm，CD=1cm，∴BD=3cm。
若∠DEB=90°，则BE= BD= （cm）。
 
原创模拟预测题2. 如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，反比例函数 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，OB= ，BF= BC。过点F作EF∥OB，交OA于点，点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO。若以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形，请求出所有点P的坐标。
 
【答案】解：∵点A是反比例函数 在第一象限内的图象上的点，
            ∴可设A 。
            ∵四边形OACB是平行四边形， BF= BC，∴F  。
            ∵点F是反比例函数 在第一象限内的图象上的点，
            ∴ 。
            ∴A ， F  。
            ∵EF∥OB，点P为直线EF上的一个动点，∴ 可设P 。
            根据勾股定理，得OA2= ，OP2= ，AP2= 。
 
当∠POA=90°时，有AP2= OA2+ OP2，即 ，
∴ 。
            综上所述，满足条件的点P的坐标为 ， ， 。
【考点】反比例函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。
【解析】先根据曲线上点的坐标与方程的关系和平行四边形的性质求出点A，F的坐标，再分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可。
原创模拟预测题3.在 中， 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。
 
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设 的面积为 ，求 与月份 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当 为何值时， 为直角三角形。
 
(3)分两种情况讨论：
①当 
 
 
  综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时， 为直角三角形。
 
原创模拟预测题4. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3， ），∠AOC=60°，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
 
（1）求点C的坐标及梯形ABCO的面积；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）     （2） （ ）   （3）当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形
【解析】
试题分析：（1）作CM⊥OA于点M,知CM ,由∠AOC=60°易求BM=1，求出C点坐标；由B点坐标可求BC的长，从而梯形面积可求；
（2）用含有t的代数式分别表示△OPQ的高和底，求出△OPQ的的面积即可表示出S与运动时间t的函数关系式；
 
(2)如图1，当动点Q运动到OC边时，OQ= ，
作QG⊥OP，∴∠ OQG=30°，
 
∴ ，∴ ，
又∵OP=2t，
∴
 （ ）；
（3）根据题意得出： ，
当 时，Q在BC边上运动，延长BC交y轴于点D，
此时OP=2t， ， ，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则∠PQD=90°，
 
∴四边形PQDO为矩形，
∴OP=QD，∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如图3，则OQ2+PQ2=PO2，
 
即 ，
解得：t1=t2=2，
当 时，Q在OC边上运动，
若∠OQP=90°，
 
考点: 1.二次函数；2.直角三角形的判定.
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