逍遥右脑 2015-09-11 12:11
97、（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（?2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
（2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；
（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．
解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，
∵C的坐标为（?2，0），A的坐标为（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴ = =2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴=1×6=6，
∴反比例函数表达式为：y=，
又∵点A、C在直线y=kx+b上，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y=2x+4；
（2）由 得： =2x+4，
解得：x=1或x=?3，
∵A（1，6），
∴B（?3，?2）；
（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，
即点E与点D重合，
此时E1（1，0）；
②当EA⊥AC时，
此时△ADE∽△CDA，
则 = ，
DE= =12，
又∵D的坐标为（1，0），
∴E2（13，0）．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
98、（2013•嘉兴）如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积？
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：．
分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出k的值，确定出一次函数解析式，将A坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例解析式；
（2）设一次函数与x轴交点为D点，过A作AE垂直于x轴，三角形ABC面积=三角形BDN面积?三口安排下ADE面积?梯形AECN面积，求出即可．
解答：解：（1）将A（1，2）代入一次函数解析式得：k+1=2，即k=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
将A（1，2）代入反比例解析式得：=2，
∴反比例解析式为y=；
（2）设一次函数与x轴交于D点，令y=0，求出x=?1，即OD=1，
∴A（1，2），
∴AE=2，OE=1，
∵N（3，0），
∴到B横坐标为3，
将x=3代入一次函数得：y=4，将x=3代入反比例解析式得：y=，
∴B（3，4），即ON=3，BN=4，C（3，），即CN=，
则S△ABC=S△BDN?S△ADE?S梯形AECN=×4×4?×2×2?×（+2）×2= ．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
99、（2013•资阳）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y= （a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．
（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
①分别求出直线l与双曲线的解析式；
②若将直线l向下平移（＞0）个单位，当为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．
考点：反比例函数综合题．
分析：（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式；
②直线l向下平移（＞0）个单位得到y=?x=5?，根据题意得方程组 只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（5?）x+4=0，则△=（?5）2?4×4=0，解得1=1，2=9，当=9时，公共点不在第一象限，所以=1；
（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到AF= ，DF= ，则D点坐标为（a? ， ），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值．
解答：解：（1）①把D（4，1）代入y= 得a=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y= （x＞0）；
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得 ，
解得 ．
所以直线l的解析式为y=?x+5；
②直线l向下平移（＞0）个单位得到y=?x=5?，
当方程组 只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x2+（5?）x+4=0，
△=（?5）2?4×4=0，解得1=1，2=9，
而=9时，解得x=?2，故舍去，
所以当=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；
（2）作DF⊥x轴，如图，
∵点D为线段AB的n等分点，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴ = = ，即 = = ，
∴AF= ，DF= ，
∴OF=a? ，
∴D点坐标为（a? ， ），
把D（a? ， ）代入y= 得（a? ）• =a，
解得b= ．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式；熟练运用相似比进行几何计算．
100、（5-4反比例函数•2013东营中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段OA＝5，C为x轴正半轴上一点，且sin∠AOC＝45．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
21. (本题满分9分)分析：（1）过点A作 轴，在 中，由 ，OA=5，可得AD=4，由勾股定理得OD=3，故可得点A的坐标为（3，4），把（3，4）分别代入 ，与 中可求得,n的值.
（2）根据直线 与x轴的交点可求点B的坐标，故OB可得，所以 .
解：(1)过A点作AD⊥x轴于点D，
∵sin∠AOC＝ADAO＝45，OA＝5
∴AD＝4.
由勾股定理得：DO=3，
∵点A在第一象限
∴点A的坐标为(3，4)………………2分
将A的坐标为(3，4)代入y＝ x，得 ，∴＝12
∴该反比例函数的解析式为 ………………4分
将A的坐标为(3，4)代入 得：
∴一次函数的解析式是 …………………………6分
(2)在 中，令y＝0，即23x＋2=0，∴x=
∴点B的坐标是
∴OB＝3，又DA=4
∴ ，所以△AOB的面积为6．………9分
点拨：用待定系数法求函数解析式时，正确求出函数图象上点的坐标是解题的关键.
101、（绵阳市2013年）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。
解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是
AB的中点，AE=2，OA=2，，
点E（2，2）在双曲线y=kx 上，
k=2×2=4 ,点F在直线BC及双
曲线y= 4x ，设点F的坐标为（4，f）,f= 44 =1,
所以点F的坐标为（4，1）.
(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，
∠EDF=∠EBF=90⩝，点D在直线OC上，
∠GDE+∠CDF=180⩝-∠EDF=180⩝-90⩝=90⩝，
∠DGE=∠FCD=90⩝，∠GDE+∠GED=90⩝，∠CDF=∠GED，
△EGD∽△DCF；
②设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=kx 上，k=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,
ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,
DC=DF2-CF2 =(2-b)2-b2 =21-b ,
△EGD∽△DCF,DCDF = EGED ,2 1-b2-b = 2 4-2b ,b= 34 ,
有点F（4，34 ），k = 4×34 = 3.
102、（德阳市2013年）如图，直线 与双曲线 交于C、D两点，与x轴
交于点A.
(1)求n的取值范围和点A的坐标；
（2)过点C作CB⊥ Y轴，垂足为B，若S △ABC＝4，求双曲线的解析式；
(3）在（l）、(2）的条件卞，若AB＝ ，求点C和点D的坐标并根据图象直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．
解析：