逍遥右脑 2015-07-28 14:17
20、（2013•益阳压轴题）材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp?x1=x2?xp，得xp= ，同理 ，所以AB的中点坐标为 ．由勾股定理得AB2= ，所以A、B两点间的距离公式为 ．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可；
（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可．
解答：（1）解：由 ，
解得： ， ．
则A，B两点的坐标分别为：A（ ，3? ），B（ ，3+ ），
∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3），
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，
∴C点坐标为（，）．
（2）证明：由两点间距离公式得：
AB= =5，PC=3?=，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
（3）解：过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，
则H点的坐标为（，3? ），
∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，
∴CG=AH= ?= ．
又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，
∴直线l与l′之间的距离为 ．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识，根据数形结合得出H点坐标是解题关键．
21、(2013年黄石)如图1，点 将线段 分成两部分，如果 ，那么称点 为线段 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 、 ，如果 ，那么称直线为该图形的黄金分割线.
（1）如图2，在△ 中， °， ， 的平分线交 于点 ，请问点 是否是 边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ 在（1）的条件下，如图（3），请问直线 是不是△ 的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形 中， ，对角线 、 交于点 ，延长 、 交于点 ，连接 交梯形上、下底于 、 两点，请问直线 是不是直角梯形 的黄金分割线，并证明你的结论.
解析：
解：（1）点 是 边上的黄金分割点，理由如下：
∵ °，
∴ 是 边上的黄金分割点（3分）
（2）直线 是△ 的黄金分割线，理由如下：
设 的边 上的高为 ，则
， ，
∴ ，
∵ 是 的黄金分割点
∴
∴
∴ 是△ 的黄金分割线（3分）
（3） 不是直角梯形 的黄金分割线
∵ ∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形 与梯形 上下底分别相等，高也相等
∴ 梯形 梯形 梯形
∴ 不是直角梯形 的黄金分割线（3分）
22、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
考点：四边形综合题．
分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在 上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
23、(2013年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
△GHO与△KFO； △NQP与△NQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图，在锐角△ABC中，A<B<C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重
合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
理由。
解析：
(1) ； (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CB=A，B交AC
于点。
当点P在A(不含点)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在C上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，
CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，
BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
24、（绵阳市2013年压轴题）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 S四边形BCGHS△AGH 的最大值。
解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心，
∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，ODAO = PDAC = 12 , ADAO = OD+OAOA= 1+22= 32 ,∴AOAD = 23 ；
（2）点O是是△ABC的重心。
证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 AQAD = 23 ，
而 AOAD = 23 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；
（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线O、ON，分别
与AC、AB交于点、N，
∵点O是△ABC的重心，
∴ OEBE = 13 ， OFCF = 13 ,
∵ 在△ABE中，O//AB，OAB = OEBE = 13 ，O = 13 AB，
在△ACF中，ON//AC，ONAC = OFCF = 13 ，ON = 13 AC，
在△AGH中，O//AH，OAG = OHGH ，
在△ACH中，ON//AH，ONAH = OGGH ，
∴ OAG + ONAH = OHGH +OGGH =1， 13ABAG + 13ACAH =1, ABAG + ACAH = 3 ,
令ABAG = , ACAH = n , =3-n,
∵ S四边形BCGHS△AGH = S△ABC-S△AGHS△AGH ,
S四边形BCGHS△AGH = 12AB•AC•sin∠BAC- 12 AG•AH•sin∠BAC 12 AG•AH•sin∠BAC =AB•AC-AG•AH AG•AH
= AB•ACAG•AH -1= n-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 32 )2 + 54 ,
∴ 当 ACAH = n = 32 ，GH//BC时， S四边形BCGHS△AGH 有最大值 54 。
附：BGAG + CHAH=1 或 ABAG + ACAH=3 的另外两种证明方法的作图。
方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。
方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、。
下面的图解也能说明问题：