逍遥右脑 2015-07-19 19:27
23、（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．
考点：菱形的判定；梯形；中点四边形．
专题：证明题．
分析：连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH= AC，HE=FG= BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可．
解答：证明：如图，连接AC、BD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ABC中，EF= AC，
在△ADC中，GH= AC，
∴EF=GH= AC，
同理可得，HE=FG= BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH为菱形．
点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．
24、（2013•常德压轴题）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，是AF的中点，连接B、E．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：B∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求B，E的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：B=E．
考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．3718684
分析：（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明B为△ADF的中位线即可；
证法二：如答图1b所示，延长B交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BA=∠DF，根据中点定义可得A=F，然后利用“角边角”证明△AB和△FD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EB=45°，从而得到∠EB=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明B∥CF即可，
（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出B、E是两条中位线；
解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得B=D，根据等腰三角形三线合一的性质可得E⊥BD，求出△BE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出B、E是两条中位线：B= DF，E= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明B=E；
证法二：如答图3b所示，延长B交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BA=∠DF，根据中点定义可得A=F，然后利用“角边角”证明△AB和△FD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，B=D，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
解答：（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点为线段AF的中点，
∴B为△ADF的中位线，
∴B∥CF．
证法二：
如答图1b，延长B交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BA=∠DF，
∵是AF的中点，
∴A=F，
∵在△AB和△FD中，
，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE?BC，DE=EF?DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EB=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EB=∠ECF，
∴B∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，
∴点B为AD中点，又点为AF中点，
∴B= DF．
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴点E为FG中点，又点为AF中点，
∴E= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴B=E= × a= a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE?CB=2a?a=a，
∵△AB≌△FD，
∴B=D，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BE是等腰直角三角形，
∴B=E= BE= a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B为AD中点，又点为AF中点，∴B= DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E为FG中点，又点为AF中点，∴E= AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴B=E．
证法二：
如答图3b，延长B交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BA=∠DF，
∴是AF的中点，
∴A=F，
在△AB和△FD中， ，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，B=D，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵B=D，
∴B=E= BD，
故B=E．
点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．