2013年中考数学圆的综合题汇编

14、(2013年南京)如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC
于点，交过点C的直线于点P，且BCP=ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。
∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。
∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。
∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。
∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。
∴PCO=90，即PCOC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)

(2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。
∵BC//AD，∴OC=180OAD=90，即OBC。
∴C=B。∴AB=AC。
在Rt△AC中，AC=90，AC=AB=9，C= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得A=AC 2C 2 =9232 =62 。
设圆O的半径为r。
在Rt△OC中，OC=90，O=AAO=62 r，C=3，OC=r，
由勾股定理，得O 2C 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OC和△OCP中，
∵OC=OCP，OC=COP，
∴△OC～△OCP。∴ O OC = C PC ，即 62  27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴ADOA，
即OAD=90。
∵BC//AD，∴OC=180OAD=90，
即OBC。
∴C=B。∴AB=AC。∴AB=AC。
∴BAC=2AC。又∵OC=2AC，∴OC=BAC。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴OC=ACD。又∵BCP=ACD，
∴OC=BCP。∵OCOC=90，∴BCPOC=90。
∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AC中，AC=90，AC=AB=9，C= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得A=AC 2C 2 =9232 =62 。
设圆O的半径为r。
在Rt△OC中，OC=90，O=AAO=62 r，C=3，OC=r，
由勾股定理，得O 2C 2=OC 2，即(62 r)232=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OC和△OCP中，∵OC=OCP，OC=COP，
∴△OC～△OCP，∴ O OC = C PC ，即 62  27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)

15、（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且 ．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．
（1）求证：DF⊥AF．
（2）求OG的长．

考点：切线的性质．
分析：（1）连接BD，根据 ，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°；
（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．
解答：解：（1）连接BD，
∵ ，
∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，
∴∠ADF=∠ABD=60°，
∴∠CAD+∠ADF=90°，
∴DF⊥AF．
（2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵ = ，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG= BD= ．
点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质．
　
16、（2013•六盘水）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，与直线的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为　 　．
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2， 的度数为60°，点B是 的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为　 　．

（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点，点N，使P+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题．
分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE= ；
（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；
由于 的度数为60°，点B是 的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE= OA= ；
（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于、交BC于N．
解答：解：（1）观察发现
如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，
∴CE= BE= ；
故答案为 ；

（2）实践运用
如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，
∵BE⊥CD，
∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，
∵ 的度数为60°，点B是 的中点，
∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，
∴∠EOC=30°，
∴∠AOE=60°+30°=90°，
∵OA=OE=1，
∴AE= OA= ，
∵AE的长就是BP+AP的最小值．
故答案为 ；

（3）拓展延伸
如图（4）．

点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称?最短路径问题．

17、（2013•衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙经过原点O及点A、B．
（1）求⊙的半径及圆心的坐标；
（2）过点B作⊙的切线l，求直线l的解析式；
（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙于点E，求点N的坐标和线段OE的长．

考点：圆的综合题．
专题：综合题．
分析：（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙的直径，则可得到线段AB的中点即点的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙的半径为5；
（2）点B作⊙的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以 = ，可解得OC= ，则C点坐标为（? ，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；
（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON= ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，所以OD= ，ON= ，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN= ，则BN=10? = ，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出E，最后由OE=ON+NE计算即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∴⊙的半径为5；圆心的坐标为（（4，3）；

（2）点B作⊙的切线l交x轴于C，如图，
∵BC与⊙相切，AB为直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=90°，
而∠BAO=∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴ = ，即 = ，解得OC= ，
∴C点坐标为（? ，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，6）、C点（? ，0）分别代入 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y= x+6；

（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，
∵∠BOA的平分线交AB于点N，
∴△NOD为等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，
∴OD= ，ON= ND= ，
∴N点坐标为（ ， ）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即 ：6=AN：10，解得AN= ，
∴BN=10? = ，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即 ：NE= ： ，解得NE= ，
∴OE=ON+NE= + =7 ．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．

18、(2013浙江丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数 ；
（3）若AB=6，求 的长。

19、（2013成都市）如图， 的半径r=25,四边形ABCD内接于 ， 于点H，P为CA延长线上的一点，且 。
（1）试判断PD与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ,求BD的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积。

解析：
（1）PD与⊙O相切，∠ABD= ∠AOD
∠ADO+ ∠ADO=90° ∴∠ADO+∠PDA=90°
∴PD⊥DO即PD与⊙O相切
（2）设AH=x，AC⊥BD ∠PHD=90°
由tan∠ADB= 知DH=
又PA= ∴PH=PA+AH=
∴PD= =2DH ⇒∠PDH=60°
因为PD为⊙O切线，由割线弦定理知∠DCB=∠PDH=60°
∴∠DOB=120° BD=2R•sin60°=2×25× =25
（3）过A作AG⊥PD
∵PA= ∠DPH=30°
∴GA= PG=
∴tan∠PDA=
又AC⊥BD ∴S=

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