逍遥右脑 2015-04-13 12:21
42、（2013•钦州压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y= x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．
（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；
（2）若将抛物线y= x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断 点C′是否在抛物线y= x2+2x上，请说明理由；
（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．3718684
专题：探究型．
分析：（1）由y= x2+2x得，y= （x?2）2?2，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令 x2+2x=0得出点B的坐标过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由∠ADO=90°可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；
（2）由题意可知抛物线的二次项系数为 ，由此可得抛物线的解析式过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC ′=AC′，由此即可得出结论；
（3）过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，由于OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据CE∥OH可知∠OCE=∠C′OG，根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点C′的坐标把x=?4代入抛物线y= x2+2x进行检验即可得出结论；
（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线上， 故设Q（a， （a?2）2?4），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论．
解答：解：（1）∵由y= x2+2x得，y= （x?2）2?2，
∴抛物线的顶点A的坐标为（?2，?2），
令 x2+2x=0，解得x1=0，x2=?4，
∴点B的坐标为（?4，0），
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∴∠ADO=90°，
∴点A的坐标为（?2，?2），点D的坐标为（?2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；
（2）四边形ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线的二次项系数为 ，且过顶点C的坐标是（2，?4），
∴抛物线的解析式为：y= （x?2）2?4，即y= x2?2x?2，
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE?EF=2，
∴OC= = =2 ，
同理，AC=2 ，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形ACOC′为菱形．
（3）如图1，点C′不在抛物线y= x2+2x上．
理由如下：
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴ 点C′的坐标为（?4，2），
把x=?4代入抛物线y= x2+2x得y=0，
∴点C′不在抛物线y= x2+2x上；
（4）存在符合条件的点Q．
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线上，
∴设Q（a， （a?2）2?4），
∵OC为该四边形的一条边，
∴OP为对角线，
∴ =0，解得x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（?2，4）（舍去），
∴点Q的坐标为（6，4）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，难度适中．
43、（2013安顺压轴题）如图，已知抛物线与x轴交于A（?1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是抛物线上一点，以B，C，D，为顶点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）由于A（?1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．
解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=?x2+2x+3．
（2）存在．
由y=?x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3?y）2=（x?1）2+（4?y）2，
即y=4?x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4?x=?x2+2x+3，
即x2?3x+1=0，
解得x1= ，x2= ＜1，应舍去，
∴x= ，
∴y=4?x= ，
即点P坐标为 ．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为 或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB= ，CD= ，BD= ，
∴CB2+CD2=BD2=20，
∴∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作C⊥DE，交抛物线于点，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CD=2×45°=90°，点坐标为（2，3），
∴D∥BC，
∴四边形BCD为直角梯形，
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点的坐标为（2，3）．
点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．