逍遥右脑 2015-03-08 14:34
2013中考全国100份试卷分类汇编
方位角
1、（2013年潍坊市）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.
A. 海里/小时 B. 30海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
答案：D．
考点:方向角，直角三角形的判定和勾股定理.
点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键.
2、（2013•株洲）如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（ ）
A．炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上
B．醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上
C．株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上
D．株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上
考点：坐标确定位置．
分析：根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上正确，故本选项错误；
B、醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上正确，故本选项错误；
C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约40°的方向上，故本选项正确；
D、株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上正确，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准确识图是解题的关键．
3、（2013年河北）如图1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的处，
它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到
达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的
距离为
A．40海里B．60海里
C．70海里 D．80海里
答案：D
解析：依题意，知N＝40×2＝80，又∠＝70°，∠N＝40°，
所以，∠PN＝70°，从而NP＝N＝80，选D
4、（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3718684
分析：首先过C作CD⊥AB与D，由题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ=AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
解答：解：AB不穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，
∵AD+DB=AB，
∴CD•tanα+CD•tanβ=AB，
∴CD= = （千米）．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB不穿过风景区．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
5、（2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．
（1）请在图中作出该船在点B处的位置；
（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：（1）根据垂线段最短知B点应是过C点所作南北方向的垂线的垂足．
（2）在Rt△ABC中，利用三角函数的知识求BC即可．
解答：解：（1）如图：
（2）在Rt△ABC中
∵AB=30×0.5=15（海里），
∴BC=ABtan30°=15× =5 （海里）．
答：钓鱼岛C到B处距离为5 海里．
点评：考查了解直角三角形的应用?方向角问题，此题为基础题，涉及用手中工具解题，如尺规，计算器等．
6、（2013年广州市）如图10， 在东西方向的海岸线N上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里.
（1）求船P到海岸线N的距离（精确到0.1海里）；
（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.
分析：（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断
解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得，∠PAE=32°，AP=30海里，
在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin32°≈15.9海里；
（2）在Rt△PBE中，PE=15.9海里，∠PBE=55°，
则BP= ≈19.4，
A船需要的时间为： =1.5小时，B船需要的时间为： =1.3小时，
故B船先到达．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．
7、(2013年广东湛江)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域 处测得钓鱼岛 在渔政船的北
偏西 的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东
的方向航行，半小时后到达 处，此时又测得钓鱼岛 在渔政船
的北偏西 的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛 的距离 ．
（结果保留小数点后一位， ）
解：延长 至 ，则 ，
，
在 △ 中， ， ，
答：此时渔政船距钓鱼岛 的距离 约为： 海里
8、（2013•荆门）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα=1.627，tanβ=1.373．为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3718684
分析：首先过C作CD⊥AB与D，由题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，继而可得CD•tanα+CD•tanβ=AB，则可求得CD的长，即可知连接AB高速公路是否穿过风景区．
解答：解：AB不穿过风景区．理由如下：
如图，过C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
则在Rt△ACD中，AD=CD•tanα，在Rt△BCD中，BD=CD•tanβ，
∵AD+DB=AB，
∴CD•tanα+CD•tanβ=AB，
∴CD= = （千米）．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB不穿过风景区．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
9、（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：k）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3718684
分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xk，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF= AB=1k，再解Rt△BCF，得出BC= BF= k．
解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xk．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°?45°=45°，
∴BD=PD=xk．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°?60°=30°，
∴AD= PD= xk．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= ?1，
∴点P到海岸线l的距离为（ ?1）k；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1k．
在△ABC中，∠C=180°?∠BAC?∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= k，
∴点C与点B之间的距离为 k．
点评：本题考查了解直角三角形的应用?方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
10、（2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？
（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：作AD⊥BC的延长线于点D，先解Rt△ADB，求出AD，BD，再解Rt△ADC，求出AC，CD，则BC=BD?CD．然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船．
解答：解：作AD⊥BC的延长线于点D．
在Rt△ADB中，AD=AB•cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里），
BD=AB•sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）．
在Rt△ADC中， （海里），
CD=AC•sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）．
BC=BD?CD=64.8?21.6=43.2（海里）．
A岛上维修船需要时间 （小时）．
B岛上维修船需要时间 （小时）．
∵tA＜tB，
∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．
点评：本题考查了解直角三角形的应用?方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD与CD的值是解题的关键．
11、（2013泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为 （取 ，结果精确到0.1海里）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
专题：．
分析：过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．
解答：解：∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB，
设DE=x，则AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
则CE= DE= x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，
则DE=BE=x，
由题意得，CB=CE?BE= x?x=25，
解得：x= ，
故AB=25（ +1）=67.5海里．
故答案为：67.5．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
12、（2013•烟台）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45，结果精确到0.1）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C之间的距离．
解答：解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，
由题意得，∠ACB=60°?30°=30°，
∠ABC=75°?60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，
∴BD=AD=ABcos45°=6 ，
在Rt△CBD中，CD= =6 ，
∴AC=6 ?6 ≈6.2（海里）．
答：A、C两地之间的距离为6.2海里．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
13、（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACD的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
解答：解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠ACB=180°?∠BAC?∠ABC=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20× =10 （海里），
在Rt△BCD中，BC= = =20 （海里）．
答：此时船C与船B的距离是20 海里．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
14、（2013•资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告．
（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？
（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31， ≈1.4， ≈1.7）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题
分析：（1）过点E作圆A的切线EN，求出∠AEN的度数即可得出答案；
（2）分别求出渔船、海监船到达点F的时间，然后比较可作出判断．
解答：解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则AN⊥EN，
由题意得，CE=9×2=18海里，则AE=AC?CE=52?18=34海里，
∵sin∠AEN= = ≈0.35，
∴∠AEN=20.5°，
∴∠NE=69.5°，
即必须沿北偏东至少转向69.5°航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区．
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
由题意得，BD=2×12=24海里，
在Rt△DBH中，DH= BD=12海里，BH=12 海里，
∵AF=12海里，
∴DH=AF，
∴DF⊥AF，
此时海监船以最大航速行驶，
海监船到达点F的时间为： = = ≈2.2小时；
渔船到达点F的时间为： = =2.4小时，
∵2.2＜2.4，
∴海监船比日本渔船先到达F处．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，本题依托时事问题出题，立意新颖，是一道很好的题目．
15、（2013•自贡）在东西方向的海岸线l上有一长为1k的码头N（如图），在码头西端的正西19.5k处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40k的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距 k的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头N靠岸？请说明理由．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3718684
分析：（1）根据∠1=30°，∠2=60°，可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长BC交l于T，比较AT与A、AN的大小即可得出结论．
解答：解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，
∴△ABC为直角三角形．
∵AB=40k，AC= k，
∴BC= = =16 （k）．
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
∴ ×60=12 （千米/小时）．
（2）作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T．
∵∠2=60°，
∴∠4=90°?60°=30°．
∵AC=8 （k），
∴CS=8 sin30°=4 （k）．
∴AS=8 cos30°=8 × =12（k）．
又∵∠1=30°，
∴∠3=90°?30°=60°．
∵AB=40k，
∴BR=40•sin60°=20 （k）．
∴AR=40×cos60°=40× =20（k）．
易得，△STC∽△RTB，
所以 = ，
，
解得：ST=8（k）．
所以AT=12+8=20（k）．
又因为A=19.5k，N长为1k，∴AN=20.5k，
∵19.5＜AT＜20.5
故轮船能够正好行至码头N靠岸．
点评：此题结合方向角，考查了理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16、(2013年黄石)高考英语测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点 是某市一高考考点，在位于 考点南偏西15°方向距离125米的 点处有一消防队。在考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于 点北偏东75°方向的 点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问：
消防车是否需要改道行驶？说明理由.（ 取1.732）
解析：
解：过点 作 交 于 点，由图可知
∵ （3分）
∴ （3分）
∵ 米
∴不需要改道行驶
17、（2013四川南充，21，8分）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）.
（1）求，N两村之间的距离；
（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离。
解析： (1)如图,过点作CD∥AB,NE⊥AB. ……………1′
在Rt△AC中，∠CA=36.5°，A=5，
∴sin36.5°＝ ＝0.6，
∴C＝3，AC＝4. ……………2′
在Rt△ANE中, ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10，
∴sin36.5°＝ ＝0.6
∴NE＝6，AE＝8. ……………3′
在Rt△ND中,D＝5，ND＝2.
∴N＝ ＝ (k) ……………4′
(2)作点N关于AB的对称点G，连接G交AB于点P.
点P即为站点. ……………5′
∴P＋PN＝P＋PG＝G. ……………6′
在Rt△DG中,G＝ ＝ ＝ (k) ……………7′
∴最短距离为 k ……………8′
18、（2013•新疆）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2k，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1k）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过点C作CD⊥l于点D，设CD=xk．先解直角△ACD，得出AD= CD= xk，再解直角△BCD，得出BD=CD=xk，然后根据AD?BD=AB，列出关于x的方程，解方程即可．
解答：解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xk．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD= CD= xk．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=xk．
∵AD?BD=AB，
∴ x?x=2，
∴x= +1≈2.7（k）．
故景点C到观光大道l的距离约为2.7k．
点评：本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19、（2013济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5k；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30k/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过点B作BD⊥AC交AC于点D，根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数，然后在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形求出AD、CD的长度，然后根据时间=路程÷速度即可求出需要的时间．
解答：解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，
由题意得，∠DAB=180°?47°?79°=54°，
∠DCB=47°?36°=11°，
在Rt△ABD中，
∵AB=5.5，∠DAB=54°，
=cos54°， =sin54°，
∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，
在Rt△BCD中，
∵BD=4.445，∠DCB=11°，
∴ =tan11°，
∴CD= =23.394，
∴AC=AD+CD=3.245+23.394≈26.64（k），
则时间t=26.64÷30≈0.90（h）．
答：需要0.90h到达．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，
20、（2013达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF= 公里，在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（ ， ，结果精确到0.1）
解析：
由题知，在Rt△ACF中，∠ACF=90°,
∠A=30°，CF=20 公里.
∴cot30°= .
解得，AC=60（公里）.………………………(2分)
又∵E在B的东北方向，且∠ACF=90°
∴∠E=∠CBE=45°，
∴CE=CB.………………………………………………(4分)
又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)，
∴CE=38公里.………………………(5分)
∴EF=CE-CF=38-20 ≈3.4（公里）………………………(6分)
答：钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)