广东省四校高二上学期期末联考数学（理）试题

届高上学期期末四校联考 （是锥体的底面积，是锥体的高）第一部分选择题（共40分）一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1.集合为函数的值域，集合，则等于( )A． B． C． D．2.双曲线的两渐近线方程为( ) gkstk A．B．C．D．均为单位向量，且，那么向量与的夹角为( )A．B．C．D．A．B．C．D．的图象向右平移个单位，得到函数的图象, 则( )A．B．C．D．6.三棱锥的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为，腰长为，则该三棱锥左视图的面积为( )A．B．C．D．A．B．C．D．，定义它们之间的一种“距离”： 给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则；②在中，；③在中，若，则．A．B． C． D．”也可写成“”或“”，均表示赋值语句)11.在中，分别是角的对边，已知 ，则 gkstk12.设满足，则的取值范围是 . 13.已知等比数列是正项数列，且，其前项的和为，恒成立，则的最大值为 . 14.已知为圆上的任意一点，若到直线的距离小于的概率为，则= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）已知.（Ⅰ）求函数的；（）在中，角所对的边分别为若，求的值．]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为，第一组数据的频数是4.(I) 求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率； (II)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率.gkstk17.（本题满分14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，其中，，顶点在底面的射影落在线段上，是的中点.（）平面；（）平面；(III)若，求三棱锥的体积.18.（本题满分14分）已知二次函数是定义在上的偶函数，且关于的不等式的解集为.（I）求的解析式II）设，且当时，的最小值为，的值.19.（本题满分14分）已知，设是单调递减的等比数列的前项和，，且、、成等差数列. (I)求数列的通项公式；(II)数列满足，求数列的通项公式III)在满足(II)的条件下，若，求数列的前项和.gkstk20.（本题满分14分）已知椭圆经过点，且椭圆的离心率，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点及.（I）求椭圆的方程；（II）求证：为定值； (Ⅲ) 求的最小值. 届高上学期期末四校联考 12． 13. 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（Ⅰ）（）, 得， ……5分即函数的（） ……6分（）得， ∴，即， ……8分根据正弦定理，由，得，故， ……9分∵，∴， gkstk ……10分∵，∴ ……12分16.解：(I)设样本容量为，则，解得，……2分空气质量为优秀或良好等级的频率为. ……5分(II)测试结果为优秀等级[0,50)的有天，设为 ……6分测试结果为重度污染等级[200,250]的有天，设为 ……7分 设抽取的两份数据为，则共有如下15种情况：、、、、、、、、、、、、、、， ……9分两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：、、、、、 ……10分设“两份数据都是优秀等级”为事件A，则. 答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为 ……12分 17.（）中点，连结，∵分别是的中点，∴，又，且，∴，且∴四边形是平行四边形， ……2分∴ ……3分又∵，， ……4分∴平面 ……5分证法二：取中点，连结∵分别是的中点，∴，又∵，，∴平面 ……1分∵，且，∴四边形是平行四边形，∴又∵，，∴平面 ……2分，，∴平面……4分∵，∴平面 ……5分（）在底面的射影落在线段上，设为，则 ∵，∴ ……6分∵中，，中，，∴∽，∴，故 即 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分证法二：顶点在底面的射影落在线段上，设为，则 ，∵，∴ ……6分在平面上，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，得，，，，由，得 ……8分又∵，，∴ ……9分，∴ ……10分(III) 解法一：∵，∴顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 gkstk ……11分∵分别是的中点，∵到面的距离是到面的距离的……12分 ……14分解法二：割补法∵，∴顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 ……11分∵分别是的中点，∵到面的距离是到面的距离的 ……12分 ……14分解法三：∵，∴顶点在底面的射影落在线段的中点上，且由知 ……11分设，则由（） ……12分 ∴其中……13分 ……14分18.解：（I），由是偶函数知的图象关于轴对称，则，即，故. ……1分∵不等式的解集为，∴且是方程即的两根.由韦达定理，得，解得：. ……5分∴. ……6分gkstk（II）（I），对称轴. ……7分 下面分类讨论： 当，即时，在上为减函数，∴ ，得(舍去)，即时，，∴或(舍去).，即时，在上为增函数， ∴，得. ……13分综上所述，或为所求. ……14分19.解：(I)设数列 的公比为，由， ……1分得，即，所以， ……3分∵是单调数列，∴， ……4分 ……5分 (II) ，∵，∴，即，……6分 即是以为首项，为公差的等差数列， ……7分故, 即 ……9分(III) ……10分 …11分两式相减，得…12分 ……13分 即 ……14分20．解：（I）由，得，即，即．（1）， ……1分 由椭圆过点知，．（2）……2分联立（1）、（2）式解得． ……3分 故椭圆的方程是； ……4分（II）为定值 ……5分法一：证明 椭圆的右焦点为，分两种情况． 1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则 CD:．此时，,； ……6分2°当直线AB的斜率存在时，设AB : ，则 CD：．又设点．联立方程组消去并化简得， 所以， ……7分 ……8分 由题知，直线的斜率为，同理可得 ……9分所以为定值. ……10分法二：证明 椭圆的右焦点为，分两种情况． 1°当直线AB的斜率不存在时，AB:，则 CD:．此时，,； ……6分2°当直线AB的斜率存在时，设AB : ，则 CD：．又设点．联立方程组消去并化简得，所以， ……7分 由，同理 …… 8分 故由题知，直线的斜率为，同理可得 ……9分所以为定值. ……10分 (Ⅲ)解：由（II）知， 所以 ……11分， ……12分当且仅当，即，即时取等号 ……13分所以的最小值为. ……14分gkstk！第6页 共13页学优高考网！！广东省四校高二上学期期末联考数学（理）试题
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