函数的极值

3.1.2 函数的极值
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
； ； ；； ； ； ；
2.法则1 　
法则2 ,
法则3
3.复合函数的导数： (理科)
4. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
二、讲解新课：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（?）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（?）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（?）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 >
（?）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数
(2)求方程 =0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
三、讲解范例：
例1求y= x3－4x+ 的极值
解：y′=( x3－4x+ )′=x2－4=(x+2)(x－2) 令y′=0，解得x1=－2，x2=2
当x变化时，y′，y的变化情况如下表

-2(-2,2)2

+0－0+

?极大值
?极小值
?
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 当x=2时，y有极小值且y极小值=－5

例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1(-1,0)0(0,1)1

－0－0+0+

?无极值?极小值0?无极值?
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

求极值的具体步骤：第一，求导数 .第二，令 =0求方程的根，第三，列表，检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
四、课堂练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x= .
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.


－0+

?极小值
?
∴当x= 时，y有极小值，且y极小值=－
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表

-3(-3,3)3

+0－0+

?极大值54?极小值-54?
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54

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