数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．
函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．
函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．
在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．
【例题求解】
【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为 ． (河南省竞赛题)
思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P (0，x)，运用几何知识建立x的方程．
注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：
(1)利用几何计算求；
(2)通过解析式求；
(3)解由解析式联立的方程组求．
【例2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度 与注水时间 之间的函数关系，大致是下列图象中的( )
思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高 ．
注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势 图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化 趋势等有关信息中获得启示．
【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
运输工具途中速度(千米／时) 途中费用(元／千米)装卸费用(元)装卸时间(小时)
飞机2001610002
火车100420004
汽车50810002
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损 耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．
(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?
(湖北省黄冈市中考题)
思路点拨 每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl?W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．
【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(2 ，8)．
(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；
(2)写出A、B两点的坐标；
(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． (江苏省常州市中考题)
思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．
注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．
【例5】 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右侧作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
(1)当AP＝3cm时，求的值；
(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；
(3)当y=2cm2，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)
思路点拨 对于(2)，由于点P的位置不同，y与x 之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x值．
注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：
(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；
(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．
学力训练
1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ．
(贵州省中考题)
2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)． (广西桂林市中考题)
3．根据指令(S≥0，0°
(浙江省杭州市中考题)
4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为(一2，0)，点B在x轴上方，设AB＝ ，那么点B的横坐标为( )
A． B． C． D．
(年南昌市中考题)
5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( )
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快
(江苏省淮安市中考题)
6．若函数 的自变量 的取值范围为一切实数，则 的取值范围是( )
A．m
l D．m≤1
7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形 未知顶点的坐标(不必写出计算过程)．
(常州市中考题)
8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为 ，请写出 与 ( 表示第 个图形)的函数关系式；
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时 的值；
(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?
(吉林省中考题)
9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)． (上海市初中数学竞赛题)
10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与 轴的夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与 轴、 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 ．
(美国高中数学考试题)
12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在 轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 (2001年湖北赛区选拔赛题)
13．已知点P的坐标是( l， )，这里 、 是有理数，PA、PB分别是点P到 轴和 轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为 ，则P点可能出现的象限有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (江苏省竞赛题)
14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V2(Vi A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)
15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不 同的税率交税，详细的税率如下表：
级别全月应纳税所得额税率(％)
1不超过500元部分5
2超过500元至2000元部分10
3超过2000元至5000元部分15
……
(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?
(2)设表示每月收入(单位：元)， 表示应交税款(单位：元)，当1300 (3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?
(四川省竞赛题)
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD= ，△ADE的面积为 ，当点D在AB上移动时，求 关于 之间的函数关系式．
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