白银市平凉市2013年中考数学试卷解析

甘肃省白银市2013年中考数学试卷
　
一、：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题意的选项字母填入题后的括号内
1．（3分）（2014?绍兴）3的相反数是（　　）
　A．3B．?3C．D．?
考点：相反数．
分析：根据相反数的意义，3的相反数即是在3的前面加负号．
解答：解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是?3．
故选B．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“?”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
　
2．（3分）（2013?白银）下列运算中，结果正确的是（　　）
　A．4a?a=3aB．a10÷a2=a5C．a2+a3=a5D．a3?a4=a12
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
专题：．
分析：根据合并同类项、同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，同底数幂的法则：底数不变，指数相加，可判断各选项．
解答：解：A、4a?a=3a，故本选项正确；
B、a10÷a2=a10?2=a8≠a5，故本选项错误；
C、a2+a3≠a5，故本选项错误；
D、根据a3?a4=a7，故a3?a4=a12本选项错误；
故选A．
点评：此题考查了同类项的合并，同底数幂的乘除法则，属于基础题，解答本题的关键是掌握每部分的运算法则，难度一般．
　
3．（3分）（2014?桂林）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（　　）
　A． B． C． D．
考点：中心对称图形．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
解答：解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
D：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
　
4．（3分）（2014?襄阳）如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（　　）
　A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：主视图是从正面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从正面看，圆锥看见的是：三角形，两个正方体看见的是两个正方形．
故答案为B．
点评：此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．
　
5．（3分）（2013?白银）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）
　A．15°B．20°C．25°D．30°
考点：平行线的性质．
分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．
解答：解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°?20°=25°．
故选C．
点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
　
6．（3分）（2008?包头）一元二次方程x2+x?2=0根的情况是（　　）
　A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
　C．无实数根D．无法确定
考点：根的判别式．
分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2?4ac的值的符号就可以了．
解答：解：∵a=1，b=1，c=?2，
∴△=b2?4ac=1+8=9＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
　
7．（3分）（2014?广西）分式方程 的解是（　　）
　A．x=?2B．x=1C．x=2D．x=3
考点：解分式方程．
分析：公分母为x（x+3），去括号，转化为整式方程求解，结果要检验．
解答：解：去分母，得x+3=2x，
解得x=3，
当x=3时，x（x+3）≠0，
所以，原方程的解为x=3，
故选D．
点评：本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
　
8．（3分）（2013?白银）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营 业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
　A．48（1?x）2=36B．48（1+x）2=36C．36（1?x）2=48D．36（1+x）2=48
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：解：二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2=48，
故选D．
点评：考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．
　
9．（3分）（2013?白银）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a?b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a?b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，
错误的个数有（　　）
　A．1个B．2个C．3个D ]4个
考点：二次函数图象与系数的关系．
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，?1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=? ＜0，故b＞0，所以2a?b＜0，①正确；
②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；
③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；
④当x=?1时，y=a?b+c＜0，④错误；
⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；
故错误的有2个．
故选：B．
点评：此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，将x=1，?1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键．
　
10．（3分）（2010?岳阳）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（　　）
　A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．
专题：．
分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．
解答：解：连接OB、OC、OA，
∵圆O切AM于B，切AN于C，
∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC
∴∠BOC=360°?90°?90°?α=（180?α）°，
∵AO平分∠MAN，
∴∠BAO=∠CAO=α，
AB=AC= ，
∴阴影部分的面积是：S四边形BACO?S扇形OBC=2×× ×r? =（ ? ）r2，
∵r＞0，
∴S与r之间是二次函数关系．
故选C．
点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．
　
二、题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，把答案写在题中的横线上
11．（4分）（2014?连云港）分解因式：x2?9=　（x+3）（x?3）　．
考点：因式分解-运用公式法．
分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解答：解：x2?9=（x+3）（x?3）．
点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
　
12．（4分）（2014?广安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是　1，2，3　．
考点：一元一次不等式的整数解．
专题：计算题．
分析：先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．
解答：解：2x+9≥3（x+2），
去括号得，2x+9≥3x+6，
移项得，2x?3x≥6?9，
合并同类项得，?x≥?3，
系数化为1得，x≤3，
故其正整数解为1，2，3．
点评：本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键．
　
13．（4分）（2014?随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为　6，4或5，5　．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，
故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5．
故答案为：6，4或5，5．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．
　
14．（4分）（2009?朝阳）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为　5　米．
考点：相似三角形的应用．
分析：易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
解答：解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
　
15 ．（4分）（2013?白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　AC=CD　．（答案不唯一，只需填一个）
考点：全等三角形的判定．
专题：开放型．
分析：可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
解答：解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中 ，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC=CD（答案不唯一）．
点评：此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两 边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
16．（4分）（2014?温州）若代数 式 的值为零，则x=　3　．
考点：分式的值为零的条件；解分式方程．
专题：计算题．
分析：由题意得 =0，解分式方程即可得出答案．
解答：解：由题意得， =0，
解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．
故答案为：3．
点评：此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．
　
17．（4分）（2014?盐城）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2?4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=　2或0　．
考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2?4x+3=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．
①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3?1=2，解得t=0．
∴t为2或0．
故答案为：2或0．
点评：考查解一元二次方程?因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．
　
18．（4分）（2013?白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2?3a+b，如：3★5=32?3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　?1或4　．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：新定义．
分析：根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
解答：解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：
x2?3x+2=6，即x2?3x?4=0，
因式分解得：（x?4）（x+1）=0，
解得：x1=4，x2=?1，
则实数x的值是?1或4．
故答案为：?1或4
点评：此题考查了解一元二次方程?因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
　
三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（6分）（2014?广元）计算：2cos45°?（?）?1? ?（π? ）0．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
专 题：计算题．
分析：根据45°角的余弦等于 ，有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，二次根式的化简，任何非0数的0次幂等于1进行计算即可得解．
解答：解：2cos45°?（?）?1? ?（π? ）0，
=2× ?（?4）?2 ?1，
= +4?2 ?1，
=3? ．
点评：本题考查了实数的运算，主要利用了特殊角的 三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，是基础运算题，注意运算符号的 处理．
　
20．（6分）（2014?朝阳）先化简，再求值： ，其中x=?．
考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：先通分计算括号里的，再把除法转化成进行约分，最后把x的值代入计算即可．
解答：解：原式= ? =x?1，
当x=?时，原式=??1=?．
点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意把分式的分子、分母因式分解．
　
21．（8分）（2013?白银）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件 的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
考点：作图―应用与设计作图．
分析：仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
解答：解：（1）作出线段AB的垂直平分线；
（2）作出角的平分线（2条）；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
点评：本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
　
22．（8分）（2013?白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题：．
分析：在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC?AB得解．
解答：解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，
∴DA=3米，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°= ，
∴CA=3 ．
∴BC=CA?BA=（3 ?3）米．
答：路况显示牌BC是（3 ?3）米．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．
　
23．（10分）（2013?白银）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于点A，且点A的纵坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）一次函数是完整的函数，把点A的纵坐标代入即可求得M的坐标；然后把A的坐标代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据交点A的坐标，即可得到当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
解答：解：（1）点A在y=x?2上，
∴1=x?2，
解得x=6，
把（6，1）代入 得
m=6×1=6．
∴y=；
（2）由图象得，当x＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式；注意：无论是求自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；同时要注意反比例函数的自变量不能取0．
　
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．（8分）（2013?白银）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场?，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来．
（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；
（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析：（1）首先根据题意列出表格或画出树状图，然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏 是不公平．
解答：解：（1）列表得：
234
1?1分1分0分
21分?1分0分
31分1分?0分
40分0分0分?
画树状图得：
∴P（甲得1分）= =
（2）不公平．
∵P（乙得1分）=
∴P（甲得1分 ）≠P（乙得1分），
∴不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
　
25．（10分）（2014?乐山）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了　200　名同学；
（2）条形统计图中，m=　40　，n=　60　；
（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　72　度；
（4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
分析：（1）结合两个统计图，根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，即可得出总人数；
（2）利用科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，即可得出m的值；
（3）根据艺术类读物所在扇形的圆心角是： ×360°=72°；
（3）根据喜欢其他类读物人数所占的百分比，即可估计6000册中其他读物的数量；
解答：解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，
故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人，
故答案为：200；
（2）根据科普类所占 百分比为：30%，
则科普类人数为：n=200×30%=60人，
m=200?70?30?60=40人，
故m=40，n=60；
故答案为：40，60；
（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是： ×360°=72°，
故答案为：72；
（4）由题意，得 （册）．
答：学校购买其他类读物900册比较合理．
点评：此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用 ，将条形图与扇形图结合得出正确信息求出调查的总人数是解题关键．
　
26．（10分）（2013?白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
解答：解：（1）BD=CD．
理由如下：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中， ，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴?AFBD是矩形．
点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
　
27．（10分）（2013?白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．
（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．
考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理．
专题：计算题．
分析：（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；
（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．
解答：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，
∴OE= =3，
∴EC=OC?OE=5?3=2，
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，
∴tan∠BAC= ==；
（2）AD与⊙O相切．理由如下：
∵半径OC垂直于弦AB，
∵AC弧=BC弧，
∴∠AOC=2∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAE=90°，
∴∠BAD+∠OAE=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD为⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．
　
28．（12分）（2013?白银）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k?1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛 物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．
解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，
∴k=?1，
∴y=x2?3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO?BD=6，
当0=x2?3x，
x（x?3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
即4=x2?3x，
解得：x=4或x=?1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，?2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；
③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO= =4 ，
当∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
设P点横坐标为：?x，则纵坐标为：x2?3x，
即?x=x2?3x，
解得x=2 或x=0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，?2）．
∴OP= =2 ，
使∠POB=90°，
∴△POB的面积为： PO?BO=×4 ×2 =8．


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