空间距离

题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体 空间距离
高考要求
　　1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念
2 会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离
知识点归纳
1 点到平面的距离：已知点 是平面 外的任意一点，过点 作 ，垂足为 ，则 唯一，则 是点 到平面 的距离
即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
结论：连结平面 外一点 与 内一点所得的线段中，垂线段 最短
2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．
3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线
4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度
说明：两条异面直线的距离 即为直线 到平面 的距离 即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离
7 直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段
（3）两个平行平面的公垂线段都相等
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长
9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离
10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
10 用向量法求距离的公式：
⑴异面直线 之间的距离：
，其中
⑵直线 与平面 之间的距离：
，其中 是平面 的法向量
⑶两平行平面 之间的距离：
，其中 是平面 的法向量
⑷点A到平面 的距离：
，其中 ， 是平面 的法向量
另法：点 平面
则
⑸点A到直线 的距离：
，其中 ， 是直线 的方向向量
⑹两平行直线 之间的距离：
，其中 ， 是 的方向向量
题型讲解
例1 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量 =（x，y，z），
则 ? =0， ? =0，
∴
即
令z=－2，则 =（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
= = =
∴点D到平面ABC的距离为
解法二：设平面ABC的方程为：
将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐标代入，得
，
取B＝2，则平面ABC的法向量 =(A,B,C)=（3，2，－2）
又因为
∴由点到平面的距离公式：
= = =
∴点D到平面ABC的距离为
点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量 的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量 的坐标，那么P到平面的距离d= cos〈 ， 〉
例2 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1） 与 所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离
解：建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
则由中点坐标公式得P（ ，0， ）、Q（ ， ，0）
（1）∴ =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），
? =（－ ）× +0+ ×（－a）=－ a2，
且 = a， = a
∴cos〈 ， 〉= = =－
故得两向量所成的角为150°
（2）设 =（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即 =1， ⊥平面EFB，∴ ⊥ ， ⊥
又 =（－a，a，0）， =（0，a，－a），
即有 ，
取 ，则
∵ =（ ，0， ）
∴ 设所求距离为d，则 = a
（3）设 =（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，
则由 =（－ ，0， ）， =（ ，－ ，－a），得
取 ＝－1，则
而 =（0，a，0） 设所求距离为m，
则 = a
例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离
分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题
解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），
则
设与 都垂直的向量为 ，
则由 和
得 ，
异面直线BD与B1C的距离：

小结：
1 用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得 也就是若 是平面 的法向量， 为平面内的一点，则点 到平面 的距离为：

2 求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若 是与异面直线 都垂直的向量，点 ，则异面直线与之间的距离：

3 两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解
学生练习
1 ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A?BD?C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
A B C D 1
解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求 易证CE=1 ∴选D
答案：D
2 在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是
A 13B 11C 9D 7
解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA= = =5
∴PO= =11为所求 ∴选B
答案：B
3 在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
A aB aC aD a
解析：A到面MBD的距离由等积变形可得
VA?MBD=VB?AMD 易求d= a

答案：D
4 平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离是
A B C D
解析：cos∠POM=cos∠POH?cos∠MOH，
∴ = cos∠POH ∴cos∠POH= ∴sin∠POH=
∴PH=PO?sin∠POH=3× =
答案：A
5 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是
A aB aC aD a
解析：连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH= a
答案：D
6 A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______
解析：CD=
答案：5或
7 设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________
解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD ∴AD是PA与BC的公垂线 易得AB=2，AC=2 ，BC=4，AD= ，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=
答案：
8 已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________
解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6 由面面平行的性质定理可得 = ，∴ = ，即 = ∴DE=2 5
答案：6 2 5
9 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点
（1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求点B到截面C1EAF的距离
（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，则直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1 而EF 平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH= = =
另法：建立坐标系(略)
10 已知直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离

解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
则AB与CD的距离即为B到DE的距离
过B作BF⊥DE于F，易求BF= a
解法二：建系如图，则A（0，0，b），C（－ a， a，a），D（a，0，0），
设AB与CD的公垂线的一个方向向量 =（x，y，z），
利用 ? =0， ? =0，
求出 ，则d= = a
课前后备注 　

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