一、
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有( )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案] A
[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)
＝(a－c)＋(b－d)i，
∵z1－z2是纯虚数，
∴a－c＝0且b－d≠0.
故应选A.
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( )
A．－2b－2bi
B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi
D．－2a－2ai
[答案] A
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是( )
A.115
B.3i
C.115＋3i
D.115＋23i
[答案] C
[解析] 设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，
则a＋bi＝a2＋b2.
由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i
即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i
∴a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.
∴所求复数为115＋3i.故应选C.
4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] A
[解析] ∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，
∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.
∴点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.
5．?ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[答案] C
[解析] AB→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则DC→对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知AB→＝DC→，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.
6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为( )
A．4
B．－1
C．6
D．0
[答案] B
[解析] z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]
＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0
∴m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B.
7．已知z＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝( )
A．－3i
B．3i
C．±3i
D．4i
[答案] B
[解析] 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9 ①
又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数
∴a＝0b＋3≠0 ②
由①②得a＝0，b＝3，
∴z＝3i，故应选B.
8．已知z1，z2∈C且z1＝1，若z1＋z2＝2i，则z1－z2的最大值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] C
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)
z2＝c＋di(c，d∈R)
∵z1＋z2＝2i
∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i
∴a＋c＝0b＋d＝2∴c＝－ad＝2－b，
∴z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝2a＋(2b－2)i
＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2
＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.
∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1
∴0≤2－2b≤4，∴z1－z2≤4.
9．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z－4i＝z＋2，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．42
D．82
[答案] C
[解析] ∵z－4i＝z＋2，且z＝x＋yi
∴x＋(y－4)i＝x＋2＋yi
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2
∴x＝－2y＋3，
∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8?14y＋4y≥42.
10．若x∈C，则方程x＝1＋3i－x的解是( )
A.12＋32i
B．x1＝4，x2＝－1
C．－4＋3i
D.12＋32i
[答案] C
[解析] 令x＝a＋bi(a，b∈R)
则a2＋b2＝1＋3i－a－bi
所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3
故原方程的解为－4＋3i，故应选C.
二、题
11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则z2－z1＝______________.
[答案] (x2－x1)2＋(y2－y1)2
[解析] ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，
∴z2－z1＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.
12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]
＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，
∴32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，
∴a＋b＝3.
13．计算：(2＋7i)－－3＋4i＋5－12ii＋3－4i＝______.
[答案] 16i
[解析] 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i
＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．
[答案] 4－2i
[解析] ∵BA→对应的复数是1＋2i，
BC→对应的复数为3－i，
∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又OC→＝OA→＋AC→，
∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
三、解答题
15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．
[解析] 解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i
＝0＋(－11)i＝－11i.
16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若z1－z2
[解析] z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i
由z1－z2
∴(4－a)2＋4<4＋9，∴(4－a)2<9，∴1
∴a的取值范围为(1,7)．
17．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．
[解析] ∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ
∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝513＋1213i
∴cosα－cosβ＝513 ①sinα＋sinβ＝1213 ②
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1
即cos(α＋β)＝12.
18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；
(2)z1＝2cosθ－i，z2＝－2＋2isinθ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．
[解析] (1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，
f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.
(2)z1＋z2＝(2cosθ－i)＋(－2＋2isinθ)＝(2cosθ－2)＋(2sinθ－1)i，
由题意得：2cosθ－2<02sinθ－1>0，即cosθ<22sinθ>12
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