向量的数量积

课时10 向量的数量积（3）
目标要求：熟练掌握数量积定义及性质，增强运用向量法与坐标法处理问题的意识。
知识梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义
2、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图， ，，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，则 ．

叫做向量 在 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；
当 为钝角时，它是一负值；当 时，它是 ；
当 时，它是 ；当 时，它是 ．
（2） 几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。
3、数量积的性质：
设 、 都是非零向量， 是 与 的夹角，则① ；
②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ；
③ ； ④ ；
⑤若 是与 方向相同的单位向量，则
4、基础训练：判断下列各题正确与否：
①若 ，则对任一向量 ，有 ； ( )
②若 ，则对任一非零向量 ，有 ； ( )
③若 ， ，则 ； ( )
④若 ，则 至少有一个为零向量； ( )
⑤若 ，则 当且仅当 时成立； ( )
⑥对任意向量 ，有 ． ( )
（7）若 ,则 或 ;
（8）若不平行的两个非零向量 , 满足 ,则 ;
(9)若 与 平行,则 ；
(10)若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ;
例题分析：
例1 ：已知 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角。

例2：(1)求与 垂直的单位向量 变：将“垂直”改为“平行”
(2)已知 ， ，若 ，且 ，求 的坐标

例3、已知向量 ， ， 。若 为直角三角形，求实数m的值。

例4、（1） 为 内一点，且满足 ，则 的形状为____
（2） 为 平面内一点，且 ，则点 是 的____心
例5、如图， 是 的三条高，求证： 相交于一点。

课后作业：
1、已知 、 、 是三个向量，下列命题中正确命题是 .
①若 ? = ? 且 ≠ ，则 = ；②若 ? =0，则 = 或 = ；
③若 ⊥ ,则 ? =0；④向量 在 的方向上的投影是一个模等于 cosθ（θ是 与 的夹角），方向与 相同或相反的一个向量．
2、设 ， 是相互垂直的单位向量，则 =___________。
3、设向量 的模 ， 与向量 的夹角为 ，则 在方向 上的投影=
4、已知 ， 在 上的投影是 ，则
5、在△ABC中，∠C＝90°， ，则k的值是_________
6、（1）已知 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 ＝_______。
(2)已知向量 ，向量 ，则 的最大值是___
7、若 ，且 ，则向量 与 的夹角________。
8、平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 _____
9、已知平面上三点A、B、C满足 ，
则 的值等于___________
10、已知 ABC中， = ， = ,当 ? <0时 ABC的形状是___________
11、向量 的模分别为 ， 的夹角为 ，则 的模=___________
12、已知 、 是夹角为60°的两个单位向量， ，
(1)求 ; (2)求 与 的夹角

13、已知 ， ， ，设 是直线 上一动点，（1）求使得 取最小值的 ；（2）对（1）中的点Z求 的余弦值


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