抛物线的定义在解题中的应用

抛物线的定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将抛物线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考.
一、利用抛物线定义求轨迹方程
例1求与圆C： 外切，且与直线 相切的动圆圆心M的轨迹方程.
分析：由题知动圆圆心M到到圆C的圆心（-2，0）的距离与到直线 距离相等，根据抛物线的定义知，动圆圆心M的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线 为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4.
解析：设动圆半径为 ，点M到直线 的距离为 ，
由动圆M与圆C外切知，MC= ，
由动圆M与直线 相切知， = ，
∴点M到直线 =2的距离为 ，
∴动圆圆心M到点C（-2，0）的距离与到直线 =2的距离相等，
根据抛物线的定义知，动圆圆心M的轨迹是以（-2，0）为焦点、以直线 为准线的抛物线，焦点到准线的距离为4
∴. 动圆圆心M的轨迹方程为
点评：本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、抛物线的定义与标准方程，定义法是求轨迹问题的重要方法之一.
二、利用抛物线定义求最值
例2已知F是抛物线 的焦点，点Q(2,2),在抛物线上找一点P使PQ+PF最小，求点P的坐标.
分析：涉及到抛物线上一点到焦点的距离问题，可用抛物线的定义去处理.
解析：抛物线的准线 方程为 ，P是抛物线上一点，过P作PH⊥ ，垂足为H，根据抛物线定义知，PH=PF，
∴PQ+PF=PQ+PH，
当H、P、Q共线时,此时P (1,2),PQ+PH值最小，最小值为3.
点评：抛物线的定义是圆锥曲线的重要概念，是将抛物线上一点到焦点的距离（即焦半径）转化为它到准线距离的重要工具，利用它，可以在本题中构造出“点到直线的垂线段最短”，应熟练掌握这种转化思路.
例3定长为4的线段AB的端点A、B在抛物线 上移动，求线段AB的中点M到 轴的距离的最小值，并求出此时AB的中点M坐标.
解析：设F是抛物线 的焦点，过A、B、M分别作准线 的垂线AC、BD、MN，垂足分别为C、D、N，则
MN= (AC+BD),
由抛物线的定义知，AC=AF，BD=BF,
∴MN= (AF+BF) =2,
设M的横坐标为 ，则MN= ，则 2，∴ ，
当AB过F点时等号成立，此时点M到 轴的距离最短为 .
点评：解本题的关键在于利用抛物线的定义将焦半径转化为到准线的距离.
三、解与焦半径有关的问题
例4已知抛物线 上一点M到焦点F的距离为2，求点M的坐标.
分析:本题是抛物线上一点到焦点的距离问题可利用抛物线的定义转化为到准线的距离问题处理.
解析：设M ,由 得， ，∴准线方程为 ，
∴点M到准线的距离为 ，
由抛物线的定义知 =2，解得 ，代入 解得 ，
∴点M的坐标为 .
点评：本题也可以设出M点坐标，求出焦点坐标，利用两点距离公式构造方程组求解，但过程复杂，抛物线定义是解决抛物线上一点到焦点距离的有效工具.
例5已知抛物线 ，过抛物线的焦点斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，求线段AB的长.
分析：过焦点的弦长问题可以利用抛物线的定义结合根与系数关系解决,也可利用弦长公式处理.
解析：设点A、B的横坐标分别为 ， ，
抛物线 的焦点为F（1，0），准线为 ，
∴点A、B到准线的距离分别为 ， ，
根据抛物线的定义知，AF= ，BF= ，
∴AB=AF+BF= + =
直线AB的方程为： ，代入 化简整理得， ，
∴ =3，∴AB=3+2=5.

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