九年级数学竞赛双曲线专题教案

2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在 >0时函数的图象关于 直线 轴对称；在 <0时函数的图象关于直线 轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数 的图象与直线 和 过同一点，则当 时，这个反比例函数的函数值 随 的增大而 (填增大或减小)．

思路点拨 确定 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．

注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O中心称，关于 轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性．
(2)一个常用命题：
如图，设点A是反比例函数 ( )的图象上一点，过A作AB⊥ 轴于B，过A作AC⊥ 轴于C，则
①S△AOB= ；
②S 矩形OBAC= ．
【例2】 如图，正比例函数 ( )与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A作AB⊥ 轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S， 则( )
A．S=1 B．S =2 C．S= D．S =


思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S△AOB与S△OBC的关系．

【例3】 如图，已知一次函数 和反比例函数 ( )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若△AOB面积S＝24，求 的值．
(2003年荆门市中考题)
思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立 的方程．
【例4】 如图，直线 分别交 、 轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥ 轴于B，S△ABP=9．
(1)求点P的坐标；
(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作PT⊥ 轴于F，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段长与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．

【例5】 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在 轴上，点C在 轴上， 点B在函数 ( ， )的图象上，点P( ， )是函数 ( ， )的图象上的任意一点，过点P分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．
(1)求B点坐标和 的值；
(2)当 时，求点P的坐标；
(3)写出S关于m的函数关系式．

思路点拨 把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含 的代数式表示，解题的关键是双曲线关于 对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考须周密．

注：求两个函数图象的交点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种条件
的点的坐标，需根据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵 横坐标的方程(组)，解方程(组)便可求得有关点的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．


学历训练
1．若一次函数 的图象如图所示，则抛物线 的对称轴位于y轴的
侧；反比例函数 的图象在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ．

2．反比例函数 的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程 的两个根，则A点坐标为 ．
3．如图：函数 （ ≠0）与 的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥ 轴，垂足为点C，则△BOC的面积为

4．已知，点P(n，2n)是第一象限的 点，下面四个命题：
(1)点P关于y轴对称的点P1的坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O的距离是 n；(3)直线 y=-nx+2n不经过第三象限；(4)对于函数y= ，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题的序号)

5．已知反比例函数y= 的图像上两点A(x1，y1)、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2 ,则m的取值范围是( )
A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞

6．已知反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象大致为( )


7．已知反比例函数 当 时，y 随x的增大面增大，那么一次函数 的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

8．如图，A、B是函数 的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥ 轴于C，BD⊥ 轴于D，如果四边形ACB D的面积为S，那么( )
A． S＝1 B．12 D．S＝2

9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= (m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=l．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

10．已知A(x1、y1)，B( x2，y2)是直线 与双曲线 ( )的两个不同交点．
(1)求 的取值范 围；
(2)是否存在这样 的值，使得 ?若存在，求出这样的 值；若不存在，请说明理由．

11．已知反比例函数 和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；
(3)利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

12．反比例函数 的图象上有一点P(m，n)，其中m、n是关于t的一元二次方程 的两根，且P到原点O的距离为 ，则该反比例函数的解析式为 ．
13．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 ( )的图象交于点A，若 取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为S1，S2，…，S20，则S1+S2+…+S20= ．

14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数图像不经过第三象限；
乙：函 数图像经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数： ．

15．已知反比例函数 的图象和一次函数 的图象都经过点P(m，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与 轴平行，且A、B的横坐标分别为 和 ，求 的值．
16．如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点，点P是双曲线 ( )上任意一点，PM⊥ 轴，PN⊥ 轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E，PN的延长线与直线AB交于点F．
(1)求证：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
(2003年江汉油田中考题)

17．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，其中x>0，y>0．
(1)求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
方法：∵ (k为常数且k>0，a≠0)，且
∴． ．
∴当 =0，即 时， 取得最小值2k．
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积 S最小?并求出S的最小值；
(3)如果直线y=mx+2(m<0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，使得点P、Q与(2)中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的 ?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．



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