九年级数学竞赛锐角三角函数辅导讲座

逍遥右脑  2013-09-05 14:52


【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中,∠A、∠B是锐角,且sinA= ,tanB=2,AB=29cm,
则S△ABC = .

思路点拨 过C作CD⊥AB于D,这样由三角函数定义得到线段的比,sinA= ,tanB= ,设CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解题的关键是求出m、n的值.

注:设△ABC中,a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边,R为△ABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论:
(1) S△ABC= ;
(2) .
【例2】 如图,在△ABC中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,B C=1,则AC=( )
A. B. C.0.3 D.

思路点拨 由15°构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化.

注:(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.
(2)求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.

【例3】 如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB于E,连结CE,求sin∠ACE的值.
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角,将问题转化成求线段的比.

【例4】 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC,
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC= ,BC=12,求AD的长.

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比,利用比例线段证明;
(2) sinC= ,引入参数可设AD=12 ,A C=13 .
【例5】 已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA、sinB是方程 的两个根.
(1)求实数 、 应满足的条件;
(2)若 、 满足(1)的条件,方程 的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 、 等式,注意判别式、三角函数 值的有界性,建立严密约束条件的不等式,才能准确求出实数 、 应满足的条件.

学历训练
1.已知α为锐角,下列结论①sinα+cosα=l;②如果α>45°,那么sinα>cosα;③如果cosα> ,那么α<60°; ④ .正确的有 .


2.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,BC=1,cosB ,则这个菱形的面积为 .
3.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°= .

4.化 简
(1) = .
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则三人所放的风筝中( )
A.甲的最高 B.丙的最高 C.乙的最低 D.丙的最低

6.已知 sinαcosα= ,且0°<α<45°则coα-sinα的值为( )
A . B. C. D.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,D是AC的中点,则ctg∠DBC的值是( )
A. B. C. D.
8.如图,在等腰Rt△ABC中.∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan ∠DBA= ,则AD的长为( )
A. B.2 C. 1 D.

9.已知关于 的方程 的两根恰是某直角三 角形两锐角的正弦,求m的值.
10.如图,D是△ABC的边AC上的一点,CD=2AD,AE⊥BC于E,若BD=8,sin∠CBD= ,求AE的长.
11.若0°<α<45°,且sinαconα= ,则sinα= .

12.已知关于 的方程 有两个不相等的实数根,α为锐角,那么α的取值范围是 .
13.已知是△ABC的三边,a、b、c满足等式 ,且有 ,则sinA+sinB+sinC的值为 .
14.设α为锐角,且满足sinα=3cosα,则sinαcosα等于( )
A. B. C. D.
15.如图,若两条宽度为1的带子相交成30°的角,则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
A.2 B. C.1 D.

16.如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC= ,则AB的长是( )
A. B. C.5 D.
17.己在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且c= ,若关于 的方程 有两个相等的实根,又方程 的两实根的平方和为6,求△ABC的面积.
18.如图,已知AB=CD=1,∠ABC=90°,∠CBD°=30°,求AC 的长.

19.设 a、b、c是直角三角形的三边,c为斜边,n为正整数,试判断 与 的关系,并证明 你的结论.
20.如图,已知边长为2的正三角形ABC沿直线 滚动.
(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1的位置,此时A点所运动的路程为 ,约为 (精确到0.1,π=3.14)

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