九年级数学竞赛锐角三角函数辅导讲座

【例题求解】
【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝ ，tanB=2，AB=29cm，
则S△ABC = ．

思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= ，tanB= ，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．

注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S△ABC= ；
（2） ．
【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，B C=1，则AC=( )
A． B． C．0.3 D．

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC= ，BC=12，求AD的长．

思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC= ，引入参数可设AD=12 ，A C＝13 ．
【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程 的两个根．
(1)求实数 、 应满足的条件；
(2)若 、 满足(1)的条件，方程 的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 、 等式，注意判别式、三角函数 值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数 、 应满足的条件．

学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；③如果cosα> ，那么α<60°； ④ ．正确的有 ．


2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB ，则这个菱形的面积为 ．
3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°= ．

4．化 简
(1) = ．
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低

6．已知 sinαcosα= ，且0°<α<45°则coα-sinα的值为( )
A ． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是( )
A． B． C． D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan ∠DBA= ，则AD的长为( )
A． B．2 C． 1 D．

9．已知关于 的方程 的两根恰是某直角三 角形两锐角的正弦，求m的值．
10．如图，D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD= ，求AE的长．
11．若0°<α<45°，且sinαconα= ，则sinα= ．

12．已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．
13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式 ，且有 ，则sinA+sinB+sinC的值为 ．
14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于( )
A． B． C． D．
15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )
A．2 B． C．1 D．

16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB= ，AC= ，则AB的长是( )
A． B． C．5 D．
17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c= ，若关于 的方程 有两个相等的实根，又方程 的两实根的平方和为6，求△ABC的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC 的长．

19．设 a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断 与 的关系，并证明 你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线 滚动．
(1)当△ABC滚动一周到△A lB1C1的位置，此时A点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)

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