北京市2013年中考数学试卷解析

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2013年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷　解析
满分120分，考试时间120分钟
一、（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为
A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3 960＝3.96×103
2. 的倒数是
A. B. C. D.
答案：D
解析： 的倒数为 ，所以， 的倒数是
3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为
A. B. C. D.
答案：C
解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为
4. 如图，直线 ， 被直线 所截， ∥ ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于
A. 40° B. 50°
C. 70° D. 80°
答案：C
解析：∠1＝∠2＝ （180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得
∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于
A. 60m B. 40m
C. 30m D. 20m
答案：B
解析：由△EAB∽△EDC，得： ，即 ，解得：AB＝40
6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
答案：A
解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
7. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）5678
人数1015205
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是
A. 6.2小时 B. 6.4小时 C. 6.5小时 D. 7小时
答案：B
解析：平均体育锻炼时间是 ＝6.4小时。
8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为 ，△APO的面积为 ，则下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象大致是
答案：A
解析：很显然，并非二次函数，排除 ；
采用特殊位置法；
当 点与 点重合时，此时 ， ；
当 点与 点重合时，此时 ， ；
本题最重要的为当 时，此时 为等边三角形， ；
排除 、 、 .选择 .
【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法
二、题（本题共16分，每小题4分）
9. 分解因式： =_________________
答案：
解析：原式＝ ＝
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________
答案：y＝x2＋1
解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。
11. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________
答案：20
解析：由勾股定理，得AC＝13，因为BO为直角三角形斜边上的中线，所以，BO＝6.5，由中位线，得MO＝2.5，所以，四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
12. 如图，在平面直角坐标系 O 中，已知直线： ，双曲线 。在上取点A1，过点A1作 轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作 轴的垂线交于点A2，请继续操作并探究：过点A2作 轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作 轴的垂线交于点A3，…，这样依次得到上的点A1，A2，A3，…，An，…。记点An的横坐标为 ，若 ，则 =__________， =__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则 不能取的值是__________
答案：
解析：根据 求出 ；根据 求出 ；
根据 求出 ；
根据 求出 ；
根据 求出 ；
根据 求出 ；
至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵ ；
∴ ；
重复上述过程，可求出 、 、 、 、 、 、 ；
由上述结果可知，分母不能为 ，故 不能取 和 .
【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，
多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。
求证：BC=AE。
解析：
14. 计算： 。
解析：
16、解不等式组：
解析：
16. 已知 ，求代数式 的值。
解析：
17. 列方程或方程组解：
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。
解析：
18．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值。
解析：
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连结DE，CF。
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。
解析：
20．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。
（1）求证：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的长。
解析：
21．第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为__________平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量
（万人次）单日最多接待游客量
（万人次）停车位数量
（个）
第七届0.86约3 000
第八届2.38.2约4 000
第九届8（预计）20（预计）约10 500
第十届1.9（预计）7.4（预计）约________
解析：
22．下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。
小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 ，则AD的长为__________。
解析：
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系 O 中，抛物线
（ ）与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B。
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。
解析：【解析】（1）当 时， .
∴
抛物线对称轴为
∴
（2）易得 点关于对称轴的对称点为
则直线 经过 、 .
没直线的解析式为
则 ，解得
∴直线的解析式为
（3）∵抛物线对称轴为
抛物体在 这一段与在 这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在 这一段位于直线 的上方
在 这一段位于直线 的下方；
∴抛物线与直线 的交点横坐标为 ；
当 时，
则抛物线过点（-1，4）
当 时， ，
∴抛物线解析为 .
【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线 与直线
关于对称轴对称，
∵抛物线在 这一段位于直线 的下方，
∴关于对称轴对称后抛物线在 这一段位于直线 的下方；
再结合抛物线在 这一段位于直线 的上方;
从而抛物线必过点 .
24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC= （ ），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含 的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求 的值。
解析：【解析】（1）
（2） 为等边三角形[
证明连接 、 、
∵线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
则 ，
又∵
∴
且 为等边三角形.
在 与 中
∴ ≌ （SSS）
∴
∵
∴
在 与 中
∴ ≌ （AAS）
∴
∴ 为等边三角形
（3）∵ ，
∴
又∵
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵
∴
而
∴
【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模
型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.
25．对于平面直角坐标系 O 中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。
已知点D（ ， ），E（0，-2），F（ ，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；
②过点F作直线交 轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（ ， ）是⊙O的关联点，求 的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 的取值范围。
解析：【解析】(1) ① ；
② 由题意可知，若 点要刚好是圆 的关联点；
需要点 到圆 的两条切线 和 之间所夹
的角度为 ；
由图 可知 ，则 ，
连接 ，则 ；
∴若 点为圆 的关联点；则需点 到圆心的距离 满足 ；
由上述证明可知，考虑临界位置的 点，如图2；
点 到原点的距离 ；
过 作 轴的垂线 ，垂足为 ；
；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
易得点 与点 重合，过 作 轴于点 ；
易得 ；
∴ ；
从而若点 为圆 的关联点，则 点必在线段 上；
∴ ；
(2) 若线段 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，
则这个圆的圆心应在线段 的中点；
考虑临界情况，如图3；
即恰好 点为圆 的关联时，则 ；
∴此时 ；
故若线段 上的所有点都是某个圆的关联点，
这个圆的半径 的取值范围为 .
【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开
头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于 倍半
径的点.
了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.
2013年北京市中考数学试题难点解析
2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2014 年有所下降。从近四年（2009-2014）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。
本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质能 力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明 中 C 级要求相呼应。
一、试题的基本结构：
整个试卷五道大题、25个题目，总分120分。
其中包括（共8个题目，共32分）、
题（共4个题目，共16分）、
解答题（包括，证明题、和综合题；共13个题目，共72分）。
1. 题型与题量
选择题填空题解答题
题数分值题数分值题数分值
8324161372
2. 考查的内容及分布
从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容都作了重点考查。
内容数与代数图形与空间统计与概率
分值604713
3. 每道题目所考查的知识点
题型题号考查知识点
选
择
题1科学记数法
2有理数的概念（倒数）
3概率
4平行线的性质
5相似三角形
6轴对称、中心对称
7平均数
8圆中的动点的函数图像
填
空
题9因式分解（提公因式法、公式法）
10抛物线的解析式
11矩形、中位线
12函数综合找规律（循环规律）
解
答
题
一13三角形全等证明
14实数运算（0次幂、-1次幂、绝对值、特殊角三角函数）
15解一元一次不等式组
16代数式化简求值（整体代入）
17列分式方程解应用题
18一元二次方程（判别式、整数解）
解
答
题
二19梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）
20圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）
21统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）
22操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）
解
答
题
三23代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）
24几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）
25代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）
二、命题主要特点：
第 8、12、22、23、24、25 题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布：
题型\年份2010201420142013
第 8 题
（创新题）
立体图形展开图
动点函数图象
动点函数图象
动点函数图象
第 22 题
（操作与探究）
轴对称、正方形
平移、等积变换
几何坐标化、
方 程与方程组正方形、等边三
角形、全等三角 形
第 23 题
（综合题）
（代数综合）
反比例函数、旋 转、恒等变形
（代数综合）
二次函数、一次 函数、等腰直角 三角形、数形结 合
（代数综合）
二次函数、一次 函数、一元二次 方程、函数图象 平移、数形结合
（代数综合）
一次函数、二次 函数、图形对称 数形结合
第 24 题
（综合题）（代几综合）
二次函数、等腰 直角三角形、分 类讨论、数形结 合（几何综合）
旋转、等腰直角 三角形、等边三 角形、直角三角 形、平行四边形（几何综合）
轴对称、等腰三 角形、倒角
（几何综合）
等边三角形、等 腰直角三角形、 旋转、倒角
第 25 题
（综合题）
（几何综合）
等腰三角形、轴 对称、倒角（代几综合）
一次函数、圆、 平行四边形、分 类讨论
（代几综合）
“新定义”、一次 函数、圆、相似
（代几综合）
一次函数、圆、 特殊直角三角形
特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。
特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整；第18题的一次函数综合体换成了一元二次方程；第19题回归对梯形的考察；第20题第(1)问没有考察切线的证明等。
特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。
特点四、从试卷中最直观反应出的是量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。
特点五、计算量大幅下降，去年19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。
特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到 。
特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第25题都涉及圆的知识。
特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。
三、重难易错题目点评：
1. 易错题目
易错题号错误原因
8易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像
12前2年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律）
17分式方程应用题忘记检验
2. 难题
难题题号不得分原因
22没看懂题，不理解图2的作用是什么
23利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键
24对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证明三角形全等也是本题的难点
25题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的2倍
总体来看，2013年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2014年也会是这种形式。


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