日照市2013年数学中考试卷解析

2013年山东日照初中学业考试
数学试卷
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页,满分120分，考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案.只答在试卷上无效．
2.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
4.题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（40分）
一、:本大题共12小题，其中1-8题每小题3分，9-12题每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.
1.计算-22+3的结果是
A．7 B．5 C． D．
答案：C
解析：原式＝－4＋3＝－1，选C。
2.下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是
答案：A
解析：A中，等边三角形底边的中算线为对称轴，是轴对称图形，其它都不是轴对称图形。
3.如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学计数法表示这个病毒直径的大小,正确的是
A.30×10-9米 B. 3.0×10-8米
C. 3.0×10-10米 D. 0.3×10-9米
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
30纳米＝30×10－9＝3.0×10-8米
4.下列计算正确的是
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为. ， ， ，故A、B、D都错，只有C正确。
5. 下图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x＜38小组，而不在34≤x＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．该学校教职工总人数是50人
B．年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占该学校总人数的20%
C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组
D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组
答案：D
解析：职工总人数为：4＋6＋11＋10＋9＋6＋4＝50，故A正确；年龄在40≤x＜42小组的教职工有10人， ＝0.2＝20%，故B也正确，在38≤x＜40这一组有11人，最多，因此，众数肯定在这组，D正确；中位数为6，故C错，选C。
6．如果点P（2x＋6，x－4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
答案：C
解析：因为点P在第四象限，所以， ，即 ，所以，选C。
7．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（-1，-2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则 其中正确的是
A. ①② B.①③ C.②③ D.③④
答案：B
解析：三角形的中线分成两个三角形底边相等，高相同，故面积相等，①正确；两边和两边夹角对应相等的两个三角形才全等，故②错误；③正确；当d＝1或d＝7时，两圆有一个公共点，故④不正确，选B。
8.已知一元二次方程 的较小根为 ,则下面对 的估计正确的是
A． B．
C． D．
答案：A
解析：用求根公式，得： ， ＜ ＜ ，即 ，只有A是正确的。
9. 甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是
A.8 B.7 C.6 D.5
答案：A
解析：假设每天工作量是1，甲单独工作x天完成。工作总量等于1×x,实际工作中甲做的1×(x-3)；乙做的1×(x-2-3)
1×x=1×(x-3)+1×(x-2-3)，解得：x=8
10. 如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是
A.BD⊥AC 　　　　　B.AC2=2AB?AE
C.△ADE是等腰三角形 D. BC＝2AD.
答案：D
解析：因为BC为直线，所以，A正确；可证△BCD≌△BAD，得BC＝BA，AD＝CD，
又△ADE∽△ABC，可得：AD????????????AC＝ADE?AB，而AC＝2AD，可知B正确；因为ADE∽△ABC，
△ABC是等腰三角形，所以，△ADE是等腰三角形，C也正确；只有D不一定成立。
11．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是
A． M=mn B． M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)
答案：D
解析：因为3＝（2＋1）×1，,15＝（4＋1）×3，35＝（6＋1）×5，所以，M＝（n＋1）×m，选D。
12.如图,已知抛物线 和直线 .我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x= 1 .其中正确的有
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
答案：B
解析：当x＞2时，由图象可知y2＞y1，M＝y1，所以，①不正确；当x＜0时，由图象可知y2＞y1，M＝y1，x值越大，M值越大，②正确；M最大值为4，所以，③正确；M＝2时，x的值有两个，不一定是1，所以，④不正确，正确的有2个，选B。
第Ⅱ卷（非选择题80分）
二、题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上.
13.要使式子 有意义，则 的取值范围是 .
答案：x≤2
解析：由根式的意义，得：2－x≥0，解得：x≤2
14.已知 ，则
答案：－11
解析：原式＝1－2（m2－m）－1－12＝－11
15. 如右图，直线AB交双曲线 于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA.若OM=2MC,S?OAC=12，则k的值为___________.
答案：8
解析：过A作AN⊥OC于N，因为BM⊥x轴，所以，AN∥BM，因为B为AC中点，所以MN＝MC，
又OM＝2MC＝2MN，所以，N为OM中点，设A（a，b），
则OC＝3a， ，得ab＝8，又点A在双曲线上，所以，k＝ab＝8。
16.如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为_____________.
答案：
解析：半圆的半径为3，所以，AB＝CD＝3， D＝AD＝6，
C＝3 ， B＝6－3 ，设AE＝x，在直角三角形EB 中，
（3－x）2＋（6－3 ）2＝x2，解得：x＝12－6 ，tan∠ADE＝ ，所以，∠ADE＝15°，∠ADF＝30°，∠AOF＝60°，
S半圆AD＝ ，S扇形AOF＝ ，
S△DOF＝ ，
所以，阴影部分面积为：
三、解答题:本大题有6小题，满分64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分,(1)小题4分，（2）小题6分）
（1）计算： .
（2）已知，关于x的方程 的两个实数根 、 满足 ，求实数 的值.
解析：
（2）（本小题满分6分）
解：原方程可变形为： . …………………5分
∵ 、 是方程的两个根，
∴△≥0,即：4（m +1）2-4m2≥0, ∴ 8m+4≥0, m≥ .
又 、 满足 ,∴ = 或 =- , 即△=0或 + =0, …………………8分
由△=0,即8m+4=0,得m= .
由 + =0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)
所以,当 时，m的值为 . ……………10分
18.（本题满分10分）
如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.
⑴求证：△BAD≌△AEC；
⑵若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.
解析：
（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又 ∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD， AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B，
∴?DBA≌?AEC(SAS) ………………4分
（2）过A作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=450，∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=300，∴BG= ，………………6分
又∵BD=10.
∴BG-DG=BD,即 ，解得AG=x= .…………………8分
∴S平行四边形ABDE=BD?AG=10×（ ）= .………………10分
19．（本题满分10分）
“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为 ；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为 ．
（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？
（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）
解析：（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只， ……1分
根据题意得： …………………………………4分
解得： 经检验符合题意，
所以爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只. ……………6分
（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为a1、a2；3只豆沙粽子记为b1、b2、b3,则可列出表格如下：
a1a2b1b2b3
a1a1 a2a1b1a1b2a1b3
a2a2 a1a2 b1a2 b2a2 b3
b1b1 a1b1a2b1 b2b1 b3
b2b2 a1b2a2b2b1b2 b3
b3b3 a1b3a2b3b1b3b2
…………8分
∴ …………………10分
20. （本题满分10分）
问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
解析： …………………4分
（2）解：如图，在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.
∵AD平分∠BAC，
∴点B与点B′关于直线AD对称. …………6分
过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E，连结BE,
则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短) ………8分
在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/=AB= 10，
，
∴BE+EF的最小值为 . ………………10分
21. （本小题满分10分）
一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：
x3000320035004000
y100969080
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:
租出的车辆数未租出的车辆数
租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
解析：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式ONG为 .
由题： 解之得：
∴y与x间的函数关系是 . ……………………………3分
（2）如下表：每空1分，共4分.
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出的车每辆的月收益
所有未租出的车辆每月的维护费
22. （本小题满分14分）
已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，x1-x2=8.
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得?ABP与?ADB相似？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b）,点Q为 上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：
AH?AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
解析：
(2）如图，由抛物线的对称性可知：
， ．
必须有 ．
设AP交抛物线的对称轴于D′点，
显然 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，得 .
∴ .
过 作
∵
∴ ．．
∴ 与 不相似， …………………………9分
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 点．
所以在该抛物线上不存在点 ，使得与 与相似．…………………… 10分
(3)连结AF、QF,
在 和 中，
由垂径定理易知：弧AE=弧AF.
∴ ,
又 ,
∴ ∽ ,
,
……………… 12分
在Rt△AOF中，AF2＝AO2＋OF2＝22＋(2 )2＝16（或利用AF2＝AO?AB＝2×8＝16）
∴AH?AQ＝16
即：AH?AQ为定值。 …………… 14分


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