呼和浩特2013年中考数学试卷（带答案和解释）

内蒙古呼和浩特市2013年中考数学试卷
一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2013? 呼和浩特）?3的相反数是（　　）
　A．3B．?3C． D．?
考点：相反数．
分析：根据相反数的概念解答即可．
解答：解：?3的相反数是3，
故选A．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“?”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
　
2．（3分）（2013?呼和浩特）下列运算正确的是（　　）
　A．x2+x3=x5B．x8÷x2=x4C．3x?2x=1D．（x2）3=x6
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
专题：．
分析：根据同底数幂的与除法，幂的乘方的运算法则计算即可．
解答：解：A、x2与x3不是同类项不能合并，故选项错误；
B、应为x8÷x2=x6，故选项错误；
C、应为3x?2x=x，故选项错误；
D、（x2）3=x6，正确．
故选D．
点评：本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质以及合并同类项的法则；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并．
　
3．（3分）（2013?呼和浩特）观察下列图形，既是轴对称图形又 是中心对称图形的有（　　）
　A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．
故选C．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
　
4．（3分）（2013?呼和浩特）下列说法正确的是（　　）
　A．“打开电视剧，正在播足球赛”是必然 事件
　B．甲组数据的方差 =0.24，乙组数据的方差 =0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
　C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
　D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上
考点：方差；中位数；众数；随机事件；概率的意义．
分析：根据方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义分别对每一项进行分析即可．
解答：解：A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误；
B、甲组数据的方差 =0.24，乙组数据的方差 =0.03，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；
D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币2次可能有1次正 面朝上，故本选项错误；
故选B．
点评：此题考查了方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义，解题的关键是熟练掌握方差、中位数、众数、随机事件和概率的定义和计算方法．
　
5．（3分）（2013? 呼和浩特）用激光测距仪测得两地之间的距离为14 000 000米，将14 000 000用科学记数法表示为（　　）
　A．14×107B．14×106C．1.4×107D．0.14×108
考点：科学记数法?表示较大的数．
专题：．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤a＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解答：解：14 000 000=1.4×107．
故选C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
6．（3分）（2013?呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（　　）
　A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形
考点：平面镶嵌（密铺）．
分析：根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角36 0°的正多边形即可．
解答：解：A、正十边形每个内角是180°?360°÷10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是180°?360°÷8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是180°?360°÷5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合题意；
故选：C．
点评：本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
　
7．（3分）（2013?呼和浩特）从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（　　）
　A． B． C． D．
考点：概率公式．
分析：先从1～9这九个自然数中找出是偶数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式求解即可．
解答：解：1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是： ．
故选：B．
点评：本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
8．（3分）（2013?呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=?mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
　A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x= ，与y轴的交点坐标为（0，c）．
解答：解：当二次函数开口向上时，?m＞0，m＜0，
对称轴x= ＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．故选D．
点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和 读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
　
9．（3分）（2013?呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足 + =?1，则m的值是（　　）
　A．3或?1B．3C．1D．?3或1
考点：根与系数的关系；根的判别式．
分析：由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和 + =1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
解答：解：根据条件知：
α+β=?（2m+3），αβ=m2，
∴ =?1，
即m2?2m?3=0，
所以，得 ，
解得m=3．
故选B．
点评：1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=? ，x1?x2= ．
　
10．（3分）（2013?呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（　　）根火柴．
　A．156B．157C．158D．159
考点：规律型：图形的变化类．
分析：根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．
解答：解：根据题意可知：
第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，
第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，
第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，
…，
第n个图案需n（n+3）+3根火柴，
则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）；
故选B．
点评：此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题．
　
二、题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）xkb1.cn
11．（3分）（2013?呼和浩特）如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2=　30　度．
考点：平行线的性质；角平分线的定义．
分析：根据平行线的性质得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．
解答：解：∵AB∥CD
∴∠EFD=∠1=60°
又∵FG平分∠EFD．
∴∠2= ∠EFD=30°．
点评：本题主要考查了两直线平行，同位角相等．
　
12．（3分）（2013?呼和浩特）大于 且小于 的整数是　2　．
考点：估算无理数的大小．
分析：根据 =2和 ＜ ＜ 即可得出答案．
解答：解：∵ =2， ＜ ＜ ，
∴大于 且小于 的整数有2，
故答案为：2．
点评：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的北京两个无理数大小的能力．
　
13．（3分）（2013?呼和浩特）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是　180°　．
考点：圆锥的计算．
分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
解答：解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有 =πR，
∴n=180°．
故答案为：180．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
　
14．（3分）（2013?呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产　200　台机器．
考点：分式方程的应用．
分析：根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答：解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x?50）台．
依题意得： = ．
解得：x=200．
检验：当x=200时，x（x?50）≠0．
∴x=200是原分式方程的解．
答：现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
　
15．（3分）（2013?呼和浩特）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为　12　．
考点：中点四边形．
分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
解答：解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF= BD=3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH=GF= BD，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF?EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
点评：本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
　
16．（3分）（2013?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（?6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为　（0，12）或（0，?12）　．
考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．
分析：如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．
注意点C有两个．
解答：解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（?6，0），∴AB=10，E（?1，0）．
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP= AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB= ；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA= ∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC= ，由勾股定理得：CF= =7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（0，12）；
（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，?12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，?12）．
故答案为：（0，12）或（0，?12）．
点评：本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．
　
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
17．（10分）（2013?呼和浩特）（1）计算：
（2）化简： ．
考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：（1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解；
（2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成运算，进行约分化简．
解答：解：（1）
=3??2+ +1
=3?2+ +1
=2+ ；
（2）
= ?
= ．
点评：本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
　
18．（6分）（2013?呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
解答：证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE=AB．
点评：本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由∠1=∠2得∠ACB=∠DCE是解决本题的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理．
　
19．（6分）（2013?呼和浩特）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
考点：一元一次不等式的应用．
分析：根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
解答：解：设应答对x道，则：10x?5（20?x）＞90
解得x＞12 ，
∵x取整数，
∴x最小为：13，
答：他至少要答对13道题．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
　
20．（6分）（2013?呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
考点：解直角三角形的应用．
分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC?（AD+BD）即可求解．
解答：解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5 ，
则用AC+BC?（AD+BD）=10+5 ?（5 +5）=5+5 ?5 （千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5 ?5 ）千米 ．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形?解直角三角形．
　
21．（6分）（2013?呼和浩特）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与双曲线 在第一象限内交于点B，BC?x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：先利用一次函数与图象的交点，再利用O C=2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可．
解答：解：由直线 与x轴交于点A的坐标为（?1，0），
∴OA=1．
又∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴点B的横坐标为2，
代入直线 ，得y= ，
∴B（2， ）．
∵点B在双曲线上，
∴k=xy=2× =3，
∴双曲线的解析式为y= ．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是根据一次函数求出反比例函数与直线的交点坐标．
　
22．（8分）（2013?呼和浩特）某区八年级有3000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
成绩x（分）频数频率
50≤x＜6010　0.05　
60≤x＜70160.08
70≤x＜80　10　0.02
80≤x＜9062　0.47　
90≤x＜100720.36
（1）补全频率分布直方图；
（2）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪一个等级的可能性大？请说明理由．
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；可能性的大小．
专题：．
分析：（1）由60≤x＜70分数段的人数除以所占的百分比，求出总人数，进而求出70≤x＜80分数段的频数，以及80≤x＜90分数段的频率，补全表格即可；
（2）找出样本中评为“D”的百分比，估计出总体中“D”的人数即可；求出等级为A、B、C、D的概率，表示大小，即可作出判断．
解答：解：（1）根据题意得：16÷0.08=200（人），
则70≤x＜80分数段的频数为200?（10+16+62+72）=10（人），50≤x＜60分数段频率为0.05，80≤x＜90分数段的频率为0.47，补全条形统计图，如图所示：
；
故答案为：0.05；10；0.47；
（2）由表格可知：评为“D”的频率是 = ，由此估计全区八年级参加竞赛的学 生约有 ×3000=150（人）被评为“D”；
∵P（A）=0.36；P（B）=0.51；P（C）=0.08；P（D）=0.05，
∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D），
∴随机调查一名参数学生的成绩等级“B”的可能性较大．
点评：此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及可能性大小，弄清题意是解本题的关键．
　
23．（9分）（2013?呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为　 　；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
解答：（1）解：∵四边形ABCD是 正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE= = ，
∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ，
∴ = ，
（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB?BK=BC?BE，
即：AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，xkb1.cn
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
　
24．（9分）（2013?呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
分析：（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2= k?（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF=4k，df=3k，
则ED= =5k，
∵ AD?EF= AE?DM，
∴DM= = = k，
∴ME= = k，
∴cos∠AED= = ；
（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE?BE，
∴（5k）2= k?（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD= k=5．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
　
25．（12分）（2013?呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（?2，0）和点C（0，?8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　（ ，0）　；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析式即可；
（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点 C关于x轴的对称点的坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；
（3）（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当E在OC上，D在OA上，即当0≤t≤1时，此时S= OE?OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S= OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜ 相遇时用的时间，此时S=S△AOE?S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．
解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x?6）
∵图象过点（0，?8）
∴a=
∴二次函数的解析式为y= x2? x?8；
（2）∵y= x2? x?8= （x2?4x+4?4）?8= （x?2）2?
∴点M的坐标为（2，? ）
∵点C的坐标为（0，?8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）
∴直线C′M的解析式为：y=? x+8
令y=0
得? x+8=0
解得：x=
∴点K的坐标为（ ，0）；
（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6?3t
AQ=18?8t，
∴
∴t=
∵t= ＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情况讨论如下，
情况1：0≤t≤1
S= OP?OQ= ×3t×8t=12t2；
情况2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足为E，
S= OP?EQ= ×3t× =? +
情况3：2＜t＜
作OF⊥AC，垂足为F，则OF=
S= QP?OF= ×（24?11t）× =? + ；
③当0≤t≤1时，S=12t2，函数的最大值是12；
当1＜t≤2时，S=? + ，函数的最大值是 ；
当2＜t＜ ，S= QP?OF=? + ，函数的最大值为 ；
∴S0的值为 ．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．


版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。