荆门市2013年中考数学试卷（有答案）

湖北省荆门市2013年初中毕业生学业水平及升学考试
数 学 试 题 卷
本试题卷共6页。满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，将准考证
条形码粘贴在答题卡上的指定位置，并认真 核对条形码上的姓名、准考证号是否
正确。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，必须先用橡皮擦干净后，再选涂另一个答案标号。答案写在试题卷上一律无
效。
3.题和解答题用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上每题对应的答题区域内。
答案写在试题卷上一律无效。
3.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分）
1．－6的倒数是
A．6B．－6C． D．－
2．小明上网查得H7N9禽流感病毒的直径大约是0.00000008米，用科学记数法表示为
A．0.8×10 米B．8×10 米
C．8×10 米D．8×10 米
3．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面
截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的
俯视图为
4．下列运算正确的是
A． ÷ = B．
C． D．
5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名
学生 参赛成绩统计如图所示. 对于这10名学生的参赛成
绩，下列说法中错误的是
A．众数是90B．中位数是90
C．平均数是90D．极差是15
6．若反比例函数y = 的图象过点（ 2, 1）则一次函数 的图象过
A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
7．四边形 中，对角线 、 相交于点 ，给出下列四个条件：
①AD∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形 为平行四边形的选法有
A．3种B．4种C．5种D．6种
8．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线 与底面半径 的关系是
A． B． C． D．
9．若关于 的一元一次不等式组 有解，则 的取值范围为
A． B． ≤ C． D． ≤
10．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P(4，3)，将线段
OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为
A．（3，4）B．（ 4，3）
C．（ 3，4）D．（4， 3）
11．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°,则sinC的值为
A． B．
C． D．
12．如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直
线 垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面
积为S，BP为 ，则S关于 的函数图象大致是
二、题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．分解因式： .
14．若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为 .
15．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，
D是AB的中点，过D点作AB的垂线
交AC于点E，BC=6， ，
则DE= .
16．设 ， 是方程 的两实数根，则 . 17．若抛物线 与x轴只有一个交点，且过点 ， .
则 .
三、解答题（本大题共7小题，共69分）
18．（本题满分8分）
⑴计算：
⑵化简求值：
，其中
19．（本题满分9分）如图，在 ABC中，AB=AC，点D
是BC的中点，点E在AD上.
⑴求证：BE=CE；
⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为
F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.
求证： AEF≌ BCF.
20．（本题满分10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，
如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
⑴求三辆车全部同向而行的概率；
⑵求至少有两辆车向左转的概率；
⑶由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时
段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频
率均为 .目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿
灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向
的绿灯亮的时间做出合理的调整.
21．（本题满分10分）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C
处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的 圆，tanα=1.627，
tanβ=1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路.问连接AB高速
公路是否穿过风景区，请说明理由.
22．（本题满分10分）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出
了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积（平方米）单 价（万元/平方米）
不超过30（平方米）[来源:学科网ZXXK]0.3
超过30平方米不超过 （平方米）部分（45≤ ≤60）
0.5
超过 平方米部分
0.7
根据这个购房方案：
⑴若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
⑵设该家庭购买商品房的人均面积为 平方米，缴纳房款y万元，请求出 关于x的
函数关系式；
⑶若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且 57求 的取值范围.
23．（本题满分10分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段
MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，
交AD于点F，切点为E.
⑴求证：OF∥BE；
⑵设BP= ，AF= ，求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
⑶延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，
使 EFO∽ EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)，如果存在，试求⑵中 和 的
值，如果不存在，请说明理由.
24．（本题满分12分）已知关于 的二次函数 的图象与关于 的函
数 的图象交于两点 、 ；
⑴当 0，1时，求AB的长；
⑵当 为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想.
⑶当 =0，无论 为何值时，猜想 AOB的形状. 证明你的猜想.
（平面内两点间的距离公式 ）.
荆门市2013年初中毕业生学业水平及升学考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共36分）
1~6 DCBCCA 7~12 BACCBA
二、填空题（每小题3分，共15分）
13、（x-8）?(x+8) 14、50°或80° 15、 16、2014 17、9
三、解答题（本题包括7个小题，共69分）
18、（共8分）
解：（1）原式=1+2 1 × = 1 ………………………4＇
（2）原式=
代入 值得原式= ………………………4＇
19、证明：（1）∵AB=AC ，D是BC的中点
∴∠BAE=∠EAC
在 ABE和 ACE 中，
∵AB=AC, ∠BAE=∠EAC,AE=AE
∴ ABE≌ ACE
∴BE=CE ………………………5＇
(2) ∵∠BAC=45°,BF⊥AF
∴ ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF,
由（1）知AD⊥BC
∴∠EAF=∠CBF
在 AEF和 BCF中,AF=BF, ∠AFE＝∠BFC=90°∠EAF=∠CBF
∴ AEF≌ BCF ………………………4＇
20、根据题意，画出树形图
P（三车全部同向而行）= … ……………………4＇
（2）P（至少两辆车向左转）= ………………………3＇
（3）由于汽车向右转、向左转、直行的概率分别为 ，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×3/10=27（秒），直行绿灯亮时间为90×3/10=27（秒）
右转绿灯亮的时间为90×2/5=36（秒） ………………………3＇
21、AB不穿过风景区.
如图，过C作CD⊥AB与D，
AD=CD?tanα；BD=CD?tan β ………………………4＇
由AD+DB=AB，得CD?tanα+CD?tanβ=AB ………………………2＇
CD= = （千米） ……………………3＇
∵CD=50＞45 ∴高速公路AB不穿过风景区. ………………………1＇
22、解：（1）三口之家应缴购房款为0.3×90＋0.5×30=42（万元）…………………4＇
（2）①当0≤x≤30 时,y=0.3×3x=0.9x
②当30＜x≤m时,y=0.9×30+0.5×3×(x-30)=1.5x-18
③当x＞m时,y=1.5m-18+0.7×3×(x-m)=2.1x-18-0.6m
0.9x (0≤x≤30)
1.5x-18 ( 30＜x≤m） (45≤m≤60) ………3
2.1x－18－0.6m （x＞m）
(3) ①当50≤m≤60时，y=1.5×50-18=57(舍)
②当45≤m?50时,y=2.1×50 0.6m-18=87－0.6m
∵57＜87 －0.6m≤60
∴45≤m＜50
综合①②得45≤m＜50. ……………3＇
23、（1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FA O=∠FEO=90°
FO=FO，OA=EO
∴Rt△FAO≌Rt△FEO
∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE
∴∠AOF=∠ABE
∴OF∥BE ………………4＇
（2）、过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP－BQ=x－y
PF=EF＋EP=FA＋BP=x＋y
∵在Rt△PFQ中
∴ ＋
∴ 化简得 ，（1＜x＜2） ………………3＇
（3）、存在这样的P点
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG
此时Rt△AFO中，y=AF=OA?tan30°=
∴当 时，△EFO∽△EHG ………………3＇
24、解： （1）当m=0时， 联立
得
∴x ＋x =1 x ?x =－1
AB= AC= x - x = =
同理，当k=1，m=1时，AB= ………………4＇
(2)猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=
下面证明： 联立 y=x -2mx+m +m
y=x+1
消y整理得 x -（2m+1）x+m +m-1=0
∴x ＋x =2m+1 ，x ?x = m +m-1
AB= AC= x - x = = ， ………………4＇
(3)当m=0，k为任意常数时，三角形AOB为直角三角形，
①当k=0时，则函数的图像为直线y=1, 则 由 y=x
y=1
得A（－1,1），B（1，1）
显然 AOB为直角三角形
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1,
则 由 y=x
y=x+1 x -x-1=0
x ＋x =1 x ?x =-1
AB= AC= x - x = = A(x ,y ) 、 B(x ,y )
∴AB ²=10
OA²+OB²=x ²+ y ²+x ²+ y ²=10
∴AB²=OA ²+OB ²
(3)当k为任意实数， AOB仍为直角三角形
联立 y=x
y=kx+1
得 x -kx-1=0
x ＋x =k x ?x = -1
AB²=(x -x )²-+ (y -y )²=k +5k ²+4
OA ²+OB ²=x ²+ y ²+x ²+ y ²=k +5k ²+4


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