椭圆的简单几何性质

2.1.2椭圆的简单几何性质
目标：
(1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。
（2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。
重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程
教学过程：
一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．标准方程： ， （ ）
二、新课讲解：
1．范围：
由标准方程知，椭圆上点的坐标 满足不等式 ，
∴ ， ，∴ ， ，
说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里.

2．对称性：
在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.
3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点.
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ．
4．离心率：
椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率.
∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 ．
5.填写下列表格：
方程
图像
a、b、c
焦点
范围
对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称
顶点


长、短轴长长轴: A1A2 长轴长 短轴：B1B2短轴长
离心率

例1．求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化为标准方程 ， ， ，
∴ ，
∴椭圆长轴和短轴长分别为 和 ，离心率，
焦点坐标 ， ，顶点 ， ， ， ．
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点 、 ；
（2）长轴长等于 ，离心率等于 ．
解：（1）由题意， ， ，又∵长轴在 轴上，
所以，椭圆的标准方程为 ．
（2）由已知 ， ，
∴ ， ，∴ ，
所以，椭圆的标准方程为 或 ．
例3.如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程．
分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程．
作业：P47第4、5题

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