逍遥右脑 2013-04-01 19:14
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )
A．8 B．217
C．62 D．219
解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为( )
A.5719 B.217
C.338 D．－5719
解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C
＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.
∴c＝19.
由asin A＝csin C得sin A＝5719.
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．
解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22•2a•2a＝78.
答案：78
4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
解：法一：根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
∴△ABC是正三角形．
法二：根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，
∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是正三角形．
时训练
一、选择题
1．在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A．c2＝a2＋b2－2abcos C
B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋b2＋c22ab
解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．
2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是( )
A.1213 B.513
C．0 D.23
解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.
3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )
A.π3 B.π6
C.2π3 D.π3或2π3
解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，
又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.
5．在△ABC中，下列关系式
①asin B＝bsin A
②a＝bcos C＋ccos B
③a2＋b2－c2＝2abcos C
④b＝csin A＋asin C
一定成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．
6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A.14 B.34
C.24 D.23
解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，
∴b2＝2a2，
∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a•2a
＝34.
二、填空题
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.
解析：由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosA，
即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，
AC2＋5AC－24＝0.
∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．
答案：3
8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．
解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.
答案：21
9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．
解析：由正弦定理，
得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.
不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
则cos B＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，
∴B＝π3.
答案：π3
三、解答题
10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.
解：A为b，c的夹角，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴16＝9＋c2－6×35c，
整理得5c2－18c－35＝0.
解得c＝5或c＝－75(舍)．
由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，
∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.
11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．
解：由题意可知，
(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，
即a2＋b2－c22ab＝12，
所以cos C＝12，所以C＝60°.
12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，
得c＝a•a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a•ca，∴b＝c，
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．