2015届九年级上册期末数学试卷(附答案和解释)

逍遥右脑  2016-02-18 10:30


安徽省亳州市蒙城县2015届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题(每小题4分,共40分)
1.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则sinA等于()
 A.   B.   C.   D. 1

2.抛物线y=?(x?3)2+8的对称轴是()
 A. 直线x=?8 B. 直线x=8 C. 直线x=3 D. 直线x=?3

3.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是()
 A. y=3x B. y=  C. y=?  D. y=2x2

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()
 A.   B. 7sin55° C. cos55° D. tan55°

5.已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 图象交于M、N两点,则不等式ax+b> 解集为()
 
 A. x>2 B. ?1<x<0
 C. ?1<x<0或0<x<2 D. x>2或?1<x<0

6.如图所示,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1,(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是()
 
 A. (?4,?3) B. (?3,?3) C. (?4,?4) D. (?3,?4)

7.如图,AB是⊙O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是()
 
 A.   B.   C.   D. 

8.如图,△ABC中,点D在线段AB上,且∠BAD=∠C,则下列结论一定正确的是()
 
 A. AB2=AC•BD B. AB•AD=BD•BC C. AB2=BC•BD D. AB•AD=BD•CD

9.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b2?4ac>0;(2)c>1;(3)2a?b<0;(4)a+b+c<0,其中错误的有()
 
 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()
 
 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q


二、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
11.已知,如图,⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥AC交圆于D,连接AD,CD,BD,∠ABD=50°.则∠DBC=.
 

12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),对称轴为直线x=1,它的部分自变量与函数值y的对应值如下表,写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值(精确到0.1).
x ?0.1 ?0.2 ?0.3 ?0.4
y=ax2+bx+c ?0.58 ?0.12 0.38 0.92

13.如图,已知菱形OABC,点C在x轴上,直线y=x经过点A,菱形OABC面积是 ,若反比例函数图象经过点B,则此反比例函数表达式为.
 

14.已知.如图,P为△ABC中线AD上一点,AP:PD=2:1,延长BP、CP分别交AC、AB于E、F,EF交AD于Q.
(1)FQ=EQ;
(2)FP:PC=EC:AE;
(3)FQ:BD=PQ:PD;
(4)S△FPQ:S△DCP=S△AEF:S△ABC,
上述结论中,正确的有(填上你认为正确的结论前的序号).
 


三、(本题共2个小题,每小题8分,共16分)
15.求值: sin60°+2sin30°?tan30° ?tan45°.

16.已知抛物线y=?2x2?x+6.
(1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴;
(2)x取何值时,y<0?


四、(本题共2小题,每小题8分,共16分)
17.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,?1).
(1)把△ABC绕着原 点O逆时针旋转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出C1的坐标.
(2)若△ABC中的一点P(a,b),在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点,请直接写出点P′的坐标(用含a、b的代数式表示)
 

18.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O的上,点E在⊙O的外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线.
 


五、(本题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,已知直线y= x与双曲线y= (k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线y= (k>0)上一点C的纵坐标为?8,求△BOC的面积.
 

20.如图,己知:Rt△ABC中,∠BAC=9O°,AD⊥BC于D,E是AC的中点,ED交AB延长线于F,求证:
①△ABD∽△CAD;
②AB:AC=DF:AF.
 


六、(本题满分12分 )
21.已知:如图,斜坡AP的坡度为1:2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
 


七、(本题12分)
22.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当 ,求 的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.
 

23.农产品的供销具有一定的季节性,在某段时间内,某农资市场西红柿的供给价格(批发价)和零售价格以及市场需要量随时间 的变化如表所示:
时间t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月
市场需要量Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
供给价格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4
零售价格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7
求:(1)此阶段市场需要量 (Q/吨)与时间(t/月)之间的函数关系式;
(2)每千克西红柿的利润(y/元)与时间(t/月)之间的函数关系式;(每千克利润=零售价一供给价)
(3)商户在几月份经营西红柿能获的最大收益.

 

安徽省亳州市蒙城县2015届九年级上学期期末数学试卷


一、选择题(每小题4分,共40分)
1.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,则sinA等于()
 A.   B.   C.   D. 1

考点: 特殊角的三角函数值.
分析: 根据等腰直角三角形的性质及特殊角的三角函数值解答.
解答:  解:∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,
∴∠A=45°,sinA= .
故选B.
点评: 本题考查特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值的计算在2015届中考中经常出现,题型以选择题、填空题为主.

2.抛物线y=?(x?3)2+8的对称轴是()
 A. 直线x=?8 B. 直线x=8 C. 直线x=3 D. 直线x=?3

考点: 二次函数的性质.
分析: 利用二次函数的性质求解即可.
解答: 解:抛物线y=?(x?3)2+8的对称轴是x=3.
故选:C.
点评: 本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟记二次函数的性质.

3.下列函 数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是()
 A. y=3x B. y=  C. y=?  D. y=2x2

考点: 二次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
分析: 利用一次函数,二次函数,反比例函数及正比例函数的性质判定即可.
解答: 解:A、y=3x,y随x的增大而增大,故本选项错误,
B、y= ,y随x的增大而减小,故本选项正确,
C、y=? ,y随x的增大而增大,故本选项错误,
D、y=2x2,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大,故本选项错误,
故选:B.
点评: 本题主要考查了一次函数,二次函数,反比例函数及正比例函数的性质,解题的关键是熟记一次函数,二次函数,反比例函数及正比例函数的性质.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()
 A.   B. 7sin55° C. cos55° D. tan55°

考点: 锐角三角函数的定义.
分析: 根据互为余角三角函数,可得∠A的度数,根据角的正弦,可得答案.
解答: 解:由∠A=90°?35°=55°,
由正弦函数的定义,得
sin55°= ,
BC=ABsin55°=7sin55°,
故选:B.
点评: 本题考查了锐角三角函数,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

5.已知一次函数y=ax+b与反比例函数y= 图象交于M、N两点,则不等式ax+b> 解集为()
 
 A. x>2 B. ?1<x<0
 C. ?1<x<0或0<x<2 D. x>2或?1<x<0

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: 根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可.
解答: 解:由图可知,x>2或?1<x<0时,ax+b> .
故选D.
点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点,利用数形结合,准确识图是解题的关键.

6.如图所示,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1,(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是()
 
 A. (?4,?3) B. (?3,?3) C. (?4,?4) D. (?3,?4)

考点: 位似变换.
专题: 压轴题;网格型.
分析: 作直线AA1、BB1,这两条直线的交点即为位似中心.
解答: 解:由图中可知,点P的坐标为(?4,?3),故选A.
 
点评: 用到的知识点为:两对对应点连线的交点为位似中心.

7.如图,AB是⊙O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是()
 
 A.   B.   C.   D. 

考点: 垂径定理;解直角三角形.
分析: 过O作弦AB的垂线,通过构建直角三角形求出弦AB的长.
解答: 解:过O作OC⊥AB于C.
在Rt△OAC中,OA=2,∠AOC= ∠AOB=60°,
∴AC=OA•sin60°= ,
因此AB=2AC=2 .
故选B.
 
点评: 此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用.

8.如图,△ABC中,点D在线段AB上,且∠BAD=∠C,则下列结论一定正确的是()
 
 A. AB2=AC•BD B. AB•AD=BD•BC C. AB2=BC•BD D. AB•AD=BD•CD

考点: 射影定理.
分析: 先证明△BAD∽△BCA,则利用相似的性质得AB:BC=BD:AB,然后根据比例性质得到AB2=BC•BD.
解答: 解:∵∠BAD=∠C,
而∠ABD=∠CBA,
∴△BAD∽△BCA,
∴AB:BC=BD:AB,
∴AB2=BC•BD.
故选C.
点评: 本题考查了射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.也考查了相似三角形的判定与性质.

9.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象中,王刚同学观察得出了下面四条信息:(1)b2?4ac>0;(2)c>1;(3)2a?b<0;(4)a+b+c<0,其中错误的有()
 
 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

考点: 二次函数图象与系数的关系.
专题: 压轴题.
分析: 由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答: 解:(1)图象与x轴有2个交点,依据根的判别式可知b2?4ac>0,正确;
(2)图象与y轴的交点在1的下方,所以c<1,错误;
(3)∵对称轴在?1的右边,∴? >?1,又∵a<0,∴2a?b<0,正确;
(4)当x=1时,y=a+b+c<0,正确;
故错误的有1个.
故选:A.
点评: 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.

10.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位:秒),他与教练的距离为y(单位:米),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()
 
 A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q

考点: 动点问题的函数图象.
专题: 应用题;压轴题.
分析: 分别假设这个位置在点M、N、P、Q,然后结合函数图象进行判断.利用排除法即可得出答案.
解答: 解:A、假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;
B、假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;
C、 ,
假设这个位置在点P,则由函数图象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离,而点P不符合这个条件,故本选项错误;
D、经判断点Q符合函数图象,故本选项正确;
故选:D.
点评: 此题考查了动点问题的函数图象,解答本题要注意依次判断各点位置的可能性,点P的位置不好排除,同学们要注意仔细观察.

二、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
1 1.已知,如图,⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥AC交圆于D,连接AD,CD,BD,∠ABD=50°.则∠DBC=50°.
 

考点: 圆周角定理;垂径定理.
分析: 由OD⊥AC,根据垂径定理的即可得 = ,然后由圆周角定理可求得∠DBC的答案.
解答: 解:∵OD⊥AC,
∴ = ,
∴∠DBC=∠ABD=50°.
故答案为:50°.
点评: 此题考查了圆周角定理与垂径定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),对称轴为直线x=1,它的部分自变量与函数值y的对应值如下表,写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值2.2(精确到0.1).
x ?0.1 ?0.2 ?0.3 ?0.4
y=ax2+bx+c ?0.58 ? 0.12 0.38 0.92

考点: 图象法求一元二次方程的近似根.
分析: 根据表格数据找出y的值接近0的x的值,再根据二次函数的对称性列式求解即可.
解答: 解:由表可知,当x=?0.2时,y的值最接近0,
所以,方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为?0.2,
设正数解的近似值为a,
∵对称轴为直线x=1,
∴ =1,
解得a=2.2.
故答案为:2.2.(答案不唯一,与其相近即可)
点评: 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表中数据确定出y值最接近0的x的值是解题的关键.

13.如图,已知菱形OABC,点C在x轴上,直线y=x经过点A,菱形OABC面积是 ,若反比例函数图象经过点B,则此反比例函数表达式为y= .
 

考点: 菱形的性质;待定系数法求反比例函数解析式.
分析: 过点A作AD⊥OC于D,设菱形的边长为a,求出AD=OD= a,再根据菱形的面积列出方程求出a的值,然后写出点B的坐标,利用待定系数法求反比例函数解析式解答.
解答: 解:如图,过点A作AD⊥OC于D,设菱形的边长为a,
∵直线y=x经过点A,
∴AD=OD= a,
∴菱形OABC面积=a• a= ,
解得a= ,
∴ a= × =1,
∴点B的坐标为( +1,1),
设反比例函数解析式为y= ,
则 =1,
解得k= +1,
所以,反比例函数表达式为y= .
故答案为:y= .
 
点评: 本题考查了菱形的性质,待定系数法求反比例函数解析式,根据直线解析式求出点A到x轴的距离是解题的关键.

14.已知.如图,P为△ABC中线AD上一点,AP:PD=2:1,延长BP、CP分别交AC、AB于E、F,EF交AD于Q.
(1)FQ=EQ;
(2)FP:PC=EC:AE;
(3)FQ:BD=PQ:PD;
(4)S△FPQ:S△DCP=S△AEF:S△ABC,
上述结论中,正确的有(1)(3)(4)(填上你认为正确的结论前的序号).
 

考点: 相似三角形的判定与性质.
分析: 首先延长PD到M,使DM=PD,连接BM、CM,易得四边形BPCM是平行四边形,然后由平行线分线段成比例定理,证得AE:AC=AP:AM,AF:AB=AP:AM,继而证得EF∥BC;然后由相似三角形的性质,证得结论.
解答: 解:延长PD到M,使DM =PD,连接BM、CM,
∵AD是中线,
∴BD=CD,
∴四边形BPCM是平行四边形,
∴BP∥MC,CP∥BM,
即PE∥MC,PF∥BM,
∴AE:AC=AP:AM,AF:AB=AP:AM,
∴AF:AB=AE:AC,
∴EF∥BC;
∴△AFQ∽△ABD,△AEQ∽△ACD,
∴FQ:BD=EQ:CD,
∴FQ=EQ,故(1)正确;
∵△△PEF∽△PBC,△AEF∽△ACB,
∴PF:PC=EF:BC,EF:BC=AE:AC,
∴PF:PC=AE:AC,故(2)错误;
∵△PFQ∽△PCD,
∴FQ:CD=PQ:PD,
∴FQ:BD=PQ:PD;故(3)正确;
∵S△FPQ:S△DCP=( )2=( )2=( )2,S△AEF:S△ABC=( )2,
∴S△FPQ:S△DCP=S△AEF:S△ABC.故(4)正确.
故答案为:(1)(3)(4).
 
点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质与判定.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

三、(本题共2个小题,每小题8分,共16分)
15.求值: sin60°+2sin30°?tan30°?tan45°.

考点: 特殊角的三角函数值.
分析: 直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可.
解答: 解: sin60°+2sin30°?tan30°?tan45°
= × +2× ? ?1
=? .
点评: 此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.

16.已知抛物线y=?2x2?x+6.
(1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴;
(2)x取何值时,y<0?

考点: 二次函数的三种形式.
分析: (1)用配方法时,先提二次项系数,再配方,写成顶点式,根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴;
(2)令y=0,确定函数图象与x轴的交点,结合开口方向判断x的取值范围.
解答: 解:(1)y=?2x2?x+6=?2(x2+ x+ )+  +6=?2(x+ )2+ ,
顶点坐标(? , ),
对称轴是直线x=? ;     

(2)令y=0,即?2x2?x+6=0,
解得x=?2或 ,
∵抛物线开口向下,
∴当x<?2或x> 时,y<0.
点评: 本题考查了二次函数的三种形式,抛物线的顶点式适合于确定抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴,最大(小)值,增减性等;抛物线的交点式适合于确定函数值y>0,y=0,y<0.

四、(本题共2小题,每小题8分,共16分)
17.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,?1).
(1)把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出C1的坐标.
(2)若△ABC中的一点P(a,b),在①中变换下对应△A′B′C′中为P′点,请直接写出点P′的坐标(用含a、b的代数式表示)
 

考点: 作图-旋转变换.
分析: (1)根据图形旋转的性质画出△A1B1C1,并写出C1的坐标即可;
(2)根据(1)中C点坐标找出规律即可得出结论.
解答: 解:(1)如图所示,C1的坐标(1,4).         

(2)∵C(4,?1),C1(1,?4),
∴P’(?b,a).
 
点评: 本题考查的是作图?旋转变换,熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

18.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O的上,点E在⊙ O的外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线.
 

考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: (1)直接根据圆周角定理求解;
(2)根据圆周角定理,由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°,则利用互余可计算出∠BAC=30°,于是得到∠BAE=∠BAC+∠EA=90°,然后根据切线的判定定理得到结论.
解答: (1)解:∵∠D=60°,
∴∠ABC=∠D=60°;
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=90°?60°=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
∴BA⊥AE,
∴AE是⊙O的切线.
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了圆周角定理.

五、(本题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,已知直线y= x与双曲线y= (k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线y= (k>0)上一点C的纵坐标为?8,求△BOC的面积.
 

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: (1)根据正比例函数先求出点A的坐标,从而求出了k值为8;
(2)根据k的几何意义可知S△COE=S△BOF,所以S梯形CEFB=S△BOC=15.
解答: 解:(1)∵点A横坐标为4,
∴由y= x可知当x=4时,y=2.
∴点A的坐标为(4,2).
∵点A是直线y= x与双曲线y= (k>0)的交点,
∴k=4×2=8.

(2)如图,
过点C、B分别作x轴的垂线,垂足为E、F,
∵点C在双曲线y= 上,当y=?8时,x=?1.
∴点C的坐标为(?1,?8).
∵点A的坐标为(4,2).
∴B(?4,?2),
∵点C、B都在双曲线y= 上,
∴S△COE=S△BOF=4.
∴S△COE+S梯形CEFB=S△COB+S△BOF.
∴S△COB=S梯形CEFB.
∵S梯形CEFB= ×(2+8)×3=15,
∴S△BOC=15.
 
点评: 主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y= 中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

20.如图,己知:Rt△ABC中,∠BAC=9O°,AD⊥BC于D,E是AC的中点,ED交AB延长线于F,求证:
①△ABD∽△CAD;
②AB:AC=DF:AF.
 

考点: 相似三角形的判定与性质.
专题: 证明题.
分析: (1)由Rt△ABC中,∠BAC=9O°,A D⊥BC,易得∠BAD=∠ACD,又由∠ADB=∠ADC,即可证得△ABD∽△CAD;
(2)由△ABD∽△CAD,即可得 ,易证得△AFD∽△DFB,可得 ,继而证得结论.
解答: 证明:(1)∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠BAD=∠ACD,
∵∠ADB=∠ADC,
∴△ABD∽△CAD;

(2)∵△ABD∽△CAD,
∴ ,
∵E是AC中点,∠ADC=90°,
∴ED=EC,
∴∠ACD=∠EDC,
∵∠EDC=∠BDF,∠ACD=∠BAD,
∴∠BAD=∠BDF,
∵∠AFD=∠DFB,
∴△AFD∽△DFB,
∴ ,
∴ .
点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

六、(本题满分12分)
21.已知:如图,斜坡AP的坡度为1:2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
 

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题;解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析: (1)过点A作AH⊥PQ,垂足为点H,利用斜坡AP的坡度为1:2.4,得出AH,PH,AP的关系求出即可;
(2)利用矩形性质求出设BC=x,则x+10=24+DH,再利用tan76°= ,求出即可.
解答: 解:(1)过点A作AH⊥PQ,垂足为点H.
∵斜坡AP的坡度为1:2.4,∴ = ,
设AH=5km,则PH=12km,
由勾股定理,得AP=13km.
∴13k=26m.  解得k=2.
∴AH=10m.
答:坡顶A到地面PQ的距离为10m.

(2)延长BC交PQ于点D.
∵BC⊥AC,AC∥PQ,
∴BD⊥PQ.
∴四边形AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DH.
∵∠BPD=45°,
∴PD=BD.
设BC=x,则x+10=24+DH.∴AC=DH=x?14.
在Rt△ABC中,tan76°= ,即 ≈4.0,
解得x= ,即x≈19,
答:古塔BC的高度约为19米.
 
点评: 此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用,根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键.

七、(本题12分)
22.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当 ,求 的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.
 

考点: 相似三角形的判定与性质;平行线的性质.
专题: 代数几何综合题;压轴题;分类讨论.
分析: (1)当PQ∥ BC时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式,我们可根据P,Q的速度,用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值.
(2)我们先看当 时能得出什么条件,由于这两个三角形在AC边上的高相等,那么他们的底边的比就应该是面积比,由此可得出CQ:AC=1:3,那么CQ=10cm,此时时间x正好是(1)的结果,那么此时PQ∥BC,由此可根据平行这个特殊条件,得出三角形APQ和ABC的面积比,然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积?三角形APQ的面积?三角形BQC的面积来得出三角形BPQ和三角形ABC的面积比.
(3)本题要分两种情况进行讨论.已知了∠A和∠C对应相等,那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值.
解答: 解:(1)由题意得,PQ平行于BC,则AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30?3x
∴ =
∴x=

(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3
∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm
∴时间用了 秒,AP= cm,
∵由(1)知,此时PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC,相似比为 ,
∴S△APQ:S△ABC=4:9
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5:9,即S四边形PQCB= S△ABC,
又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ= S△ABC,
∴S△BPQ=S四边形PQCB?S△BCQ? S△ABC? S△ABC= S△ABC,
∴S△BPQ:S△ABC=2:9=

(3)假设两三角形可以相似
情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ:AP=BC:AQ,即有 = 解得x= ,
经检验,x= 是原分式方程的解.
此时AP= cm,
情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ:AQ=BC:AP,即有 = 解得x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解.
此时AP=20cm.
综上所述,AP= cm或AP=20cm.
 
点评: 本题主要考查了相似三角形的判定和性质,根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键.

23.农产品的供销具有一定的季节性,在某段时间内,某农资市场西红柿的供给价格(批发价)和零售价格以及市场需要量随时间的变化如表所示:
时间t/月 三月 四月 五月 六月 七月 八月
市场需要量Q/吨每天 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
供给价格y1/元每千克 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4
零售价格y2/元每千克 7.2 6.9 6.6 6.3 6 5.7
求:(1)此阶段市场需要量 (Q/吨)与时间(t/月)之间的函数关系式;
(2)每千克西红柿的利润(y/元)与时间(t/月)之间的函数关系式;(每千克利润=零售价一供给价)
( 3)商户在几月份经营西红柿能获的最大收益.

考点: 二次函数的应用.
分析: (1)利用待定系数法求一次函数解析式得出(Q/吨)与时间(t/月)之间的函数关系式;
(2)利用待定系数法求一次函数解析式得出y1,y2解析式,进而得出y=y2?y1求出即可;
(3)利用P=1000yQ进而求出函数最值即可.
解答: 解:(1)由表上数据可知,此阶段市场需要(Q/吨)与时间(t/月)之间满足一次函数关系,
可设其关系式为:Q= k1t+b1,不妨取两组对应数据t=3时,Q=1;t=8时,Q=2得:
 ,
解得: ,
∴(Q/吨)与时间(t/月)之间的函数关系式为:Q= t+ ;

(2)设y1=kx+b,则 ,
解得:
故y1=?0.2t+5.6,
设y2=ax+c,则 ,
解得: ,
故y2=?0.3t+8.1,
∴y=y2?y1=?0.1t+2.5;

(3)设收益为P,则
P=1000yQ=1000(?0.1t+2.5)(0.2t+0.4)=?20t2+460t+1000,
∵此函数的对称轴为t=11.5,
∴当t=8时,收益最大为1000(?0.02×64+0.46×8+1)=3400(元).
点评: 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式,根据题意得出P与t的函数关系式是解题关键.


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