重庆市万州二中2015-2016学年高二上学学期期中考试（数学理）

万州二中高2015级高二(上)中期考试理科数学试题（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卷相应位置。）1 ．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为（　）A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 D.-3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A．8 B． 10 C．6 D．8是两条直线，是两个平面，下列能推出的是 ( )A． 　　B． C． 　 D．7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=98．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A. B. C. AB与CD所成的角为 D. AB与CD相交9.一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C： 上的最短路程是 （ ）A. 4 B. 5 C. D. 10、如图，在棱长为4的正方体 中，E、F分别是AD, ，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A—一所围成的几何体的体积为（ ）A． B． C． D．．4－y， (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 ;14.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则15.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：．．16．（本小题满分1分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．17．（本小题满分1分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB（）求证EFGH为矩形；（）点E在什么位置，SEFGH最大?18.（本小题满分1分）（本小题满分12分）如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.（1）求证:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离;（3）在（2）的条件下,求PC与底面所成角的余弦值。20.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面，已知（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若，求二面角的平面角的正切值.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。1 ．三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为（　　）A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 D.-3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） A．8 B． 10 C．6 D．8是两条直线，是两个平面，下列能推出的是( C )A． 　　B． C． 　 D．6.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2+(y+7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( D )A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=98．一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ C ）A. B. C. AB与CD所成的角为 D. AB与CD相交9.一束光线从点A(-1，1)出发经X轴反射到圆C： 上的最短路程是 （ A ）A. 4 B. 5 C. D. 10、如图，在棱长为4的正方体 中，E、F分别是AD, ，的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面上运动，则线段MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角A—一所围成的几何体的体积为（ ）A． B． C． D．．4－y， .13.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为2x－3y＝0或x＋y＋5＝014.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则 15.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：.．．16．.（本小题满分1分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．．解　(1)设C(x0，y0)，则AC中点M，BC中点N.∵M在y轴上，∴＝0，x0＝－5.∵N在x轴上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．(2)∵M，N(1,0)．∴直线MN的方程为＋＝1.即5x－2y－5＝0.1（本小题满分1分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB （）求证EFGH为矩形；（）点E在什么位置，SEFGH最大?又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.（2）G=x，AC=m，，GH=x GF=（m－x）SEFGH=GH?GF=x?（m－x）=（mx－x2）= （－x2+mx－+=［（x－）2+］当x=时，SEFGH最大=（本小题满分1分）×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b，b=5.∴k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=.而圆的半径为2，∴∠AOB=120°.19（本小题满分12分）如图，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.（1）求证:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B为45°,AD=2,CD=3,求点F到平面PCE的距离;（3）在（2）的条件下,求PC与底面所成角的余弦值。解法一:(1)证明:取PC中点M,连结ME、MF,则MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD, ∴AE∥MF且AE=MF.∴四边形AFME是平行四边形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE, ∴AF∥平面PCE.(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．? ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD． 又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD内过F作FH⊥PC于H,则FH就是点F到平面PCE的距离.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=. ∴FH=. (3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影. ∴∠PCA就是PC与底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=, ∴sin∠PCA==,即PC与底面所成的角余弦值cos∠PCA==,解法二：(1)证明:取PC中点M,连结EM,∵=+=+=+(+)=++=+ +=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC． 4分(2)解:以A为坐标原点,分别以、、所在直线为x、y、z轴建立坐标系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD, ∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0. 解得y=－x ,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).又=(0,1,－1),故点F到平面PCE的距离为d===.(3)解: ∵PA⊥平面ABCD, ∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC与底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,即PC与底面所成的角的余弦值是.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面，已知（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若，求二面角的平面角的正切值.证（Ⅰ）因为侧面，故 在中， 由余弦定理有 故有 而 且平面（Ⅱ）由从而 且 故 不妨设 ，则，则又 则在中有 从而（舍去）故为的中点时， 法二：以为原点为轴，设，则 由得 即 化简整理得 或 当时与重合不满足题意当时为的中点故为的中点使 （Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点 连则，连则，连则 连则，且为矩形，又 故为所求二面角的平面角 在中，法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为 故 （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相重庆市万州二中2015-2016学年高二上学学期期中考试（数学理）
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