逍遥右脑 2013-06-07 21:40
高二年级第二次月考数学试卷
一、（共12题，每题5分，共60分）
1．下列语句中是命题的是（ B ）
A．周期函数的和是周期函数吗？ B．
C． D．梯形是不是平面图形呢？
2．设原命题：若 ，则 中至少有一个不小于 ，则原命题与其逆命题的真假情况是（ A ）
A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题
3．有下述说法：① 是 的充要条件. ② 是 的充要条件.
③ 是 的充要条件.则其中正确的说法有（ A ）
A． 个B． 个C． 个D． 个
4．一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ B ）
A． B． C． D．
5.方程 表示的曲线是（D）
A．一条直线 B．一个正方形 C．一个圆 D．四条直线
6.已知点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是（C）
A． B．
C． D．
7.椭圆 的焦点坐标为（A）
（A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0)
8.已知F1, F2是定点， F1 F2=8, 动点满足 F1+ F2=8，则点的轨迹是(D)
（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
9.过点(3, －2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是(C)
（A） （B） （C） （D）
10.已知P为椭圆 上一点，P到一条准线的距离为P到相应焦点的距离之比为(C)
（A） （B） （C） （D）
11.椭圆 上一点P到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是(B)
（A） （B） （C） （D）随P点位置不同而有变化
12．如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P, Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO, 则椭圆的离心率是① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数是 (D)
（A）1个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
二、题（共4题，每题5分，共20分）
13.已知方程 的曲线经过点 ，那么 的值为 。
14、．已知A(4, 2.4)为椭圆 上一点，则点A到该椭圆的左焦点的距离是_____13/5_________.
15、P为椭圆 上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 _________ .
16、有下列四个命题：
①、命题“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若 ，则 有实根”的逆否命题；
④、命题“若 ，则 ”的逆否命题。
其中是真命题的是 ①，②，③ （填上你认为正确的命题的序号）。
三、解答题（共六题，共70分）
17、（12分）已知 ； 若 是 的必要非充分条件，求实数 的取值范围。
是 的必要非充分条件， ，即 。
18、（12分）椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 求椭圆的标准方程
由 解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为x216 + y225 = 1 .
19、（12分）求过点P(3, 0)且与圆x2+6x+y2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程。
20、（12分）设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o, .
(I)求椭圆C的离心率；
(II)如果AB= ，求椭圆C的方程.
解：
设 ，由题意知 ＜0， ＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中 .
联立 得
解得
因为 ，所以 .
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为 ，所以 .
由 得 .所以 ，得a=3， .
椭圆C的方程为 .
21、（12分）已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：
1) 方程有两个正根的充要条件；
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：
即：
即： a≥10或a≤2且a1w
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
1<a≤2或a≥10 即为所求。
2) 从1)知1<a≤2或a≥10方程有两个正根
当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
方程有一正、一负根的充要条件是：
a<1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。
22、（12分）设F1、F2分别为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，32)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3)若、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线P、PN的斜率都存在，并记为kP、kPN时．
求证：kP•kPN是与点P位置无关的定值．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又点A1，32在椭圆上，
因此122＋322b2＝1得b2＝3，
于是c2＝1.
所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1，
焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：
x＝－1＋x12，y＝y12，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此(2x＋1)24＋(2y)23＝1.
即x＋122＋4y23＝1为所求的轨迹方程．
(3)设点(，n)是椭圆x2a2＋y2b2＝1①
上的任一点，N(－，－n)是关于原点的中心对称点，则2a2＋n2b2＝1②
又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kP•kPN存在．
则kP＝y－nx－，kPN＝y＋nx＋，
∴kP•kPN＝y－nx－•y＋nx＋＝y2－n2x2－2.
①－②得x2－2a2＋y2－n2b2＝0，y2－n2x2－2＝－b2a2，
∴kP•kPN＝－b2a2.
故kP•kPN与P的取值无关．