2015中考数学试卷圆(9)分类汇编解析

逍遥右脑  2016-01-03 12:18

2015中考数学真题分类汇编:圆(8)
一.解答题(共30小题)
1.(2015•大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=4 ,求EF的长.


2.(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.
 
3.(2015•枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=CD•2OE;
(3)若cos∠BAD= ,BE=6,求OE的长.
 
4.(2015•西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足 = ,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM,AM.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠ABM= ,AM=6,求⊙O的半径.
 
5.(2015•广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA= ,求⊙O的半径.
 
6.(2015•北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求证:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
 
7.(2015•莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE= .求证:CB是⊙O的切线.
 
8.(2015•锦州)如图,△ABC中,以AC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为⊙O上一点,连接CE并延长交AB于点F,连接ED.
(1)若∠B+∠FED=90°,求证:BC是⊙O的切线;
(2)若FC=6,DE=3,FD=2,求⊙O的直径.
 
9.(2015•甘孜州)如图,△ABC为等边三角形,以边BC为直径的半圆与边AB,AC分别交于D,F两点,过点D作DE⊥AC,垂足为点E.
(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若AB=4,求FH的长(结果保留根号).
 
10.(2015•包头)如图,AB是⊙O的直径,点D是 上一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF•DB;
(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和⊙O的半径.
 
11.(2015•本溪)如图,点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点,且AC=CD,以AB为直径作⊙O,分别交边AC、BC于点E、点F
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)连接OC,交⊙O于点G,若AB=4,求线段CE、CG与 围成的阴影部分的面积S.
 
12.(2015•常德)已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.
 
13.(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
 
14.(2015•衡阳)如图,AB是⊙O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
 
15.(2015•攀枝花)如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径R=3,求 的值.
 
16.(2015•河池)如图,AB为⊙O的直径,CO⊥AB于O,D在⊙O上,连接BD,CD,延长CD与AB的延长线交于E,F在BE上,且FD=FE.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)若AF=8,tan∠BDF= ,求EF的长.
 
17.(2015•毕节市)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.
 
18.(2015•盐城)如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与⊙O相切.
 
19.(2015•怀化)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE
(1)求证:△ABC∽△CBD;
(2)求证:直线DE是⊙O的切线.
 
20.(2015•巴中)如图,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.
 
21.(2015•宁夏)如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2 ,求BC的长.
 
22.(2015•昆明)如图,AH是⊙O的直径,AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF,垂足为F,B为直径OH上一点,点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.
(1)求证:直线FG是⊙O的切线;
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径.
 
23.(2015•厦门)已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=90°,∠DCB<90°,对角线AC平分∠DCB,延长DA,CB相交于点E.
(1)如图1,EB=AD,求证:△ABE是等腰直角三角形;
(2)如图2,连接OE,过点E作直线EF,使得∠OEF=30°,当∠ACE≥30°时,判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由.
 
24.(2015•福州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,tanB= ,半径为2的⊙C,分别交AC,BC于点D,E,得到 .
(1)求证:AB为⊙C的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
 
25.(2015•黄石)如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.
(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线.
 
26.(2015•营口)如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若PD= cm,AC=8cm,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,若点E是 的中点,连接CE,求CE的长.
 
27.(2015•宜宾)如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点D,DE∥BO,CE的延长线交BD于点A.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若AE=2,tan∠DEO= ,求AO的长.
 
28.(2015•随州)如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO.
(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明:PC是⊙O的切线;
(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求 的长.
 
29.(2015•潜江)如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.
 
30.(2015•广安)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若 = ,且OC=4,求PA的长和tanD的值.
 
2015中考数学真题分类汇编:圆(8)
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2015•大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=4 ,求EF的长.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)连接OD,由题可知,E已经是圆上一点,欲证CD为切线,只需证明∠OED=90°即可.
(2)连接BD,作DG⊥AB于G,根据勾股定理求出BD,进而根据勾股定理求得DG,根据角平分线性质求得DE=DG=  ,然后根据△ODF∽△AEF,得出比例式,即可求得EF的长.
解答: (1)证明:连接OD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠EAD.
∵OE=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.
∴OD∥AE.
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,
∴EF与⊙O相切.
(2)连接BD,作DG⊥AB于G,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=6,AD=4 ,
∴BD= =2,
∵OD=OB=3,
设OG=x,则BG=3?x,
∵OD2?OG2=BD2?BG2,即32?x2=22?(3?x)2,
解得x= ,
∴OG= ,
∴DG= =  ,
∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB,
∴DE=DG=  ,
∴AE= = ,
∵OD∥AE,
∴△ODF∽△AEF,
∴ = ,即 = ,
∴ = ,
∴EF=  .
 
点评: 本题考查了相似三角形的性质和判定,勾股定理,切线的判定等知识点的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力,两小题题型都很好,都具有一定的代表性.
2.(2015•潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.
(1)求证:直线DF与⊙O相切;
(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)连接OD,利用AB=AC,OD=OC,证得OD∥AD,易证DF⊥OD,故DF为⊙O的切线;
(2)证得△BED∽△BCA,求得BE,利用AC=AB=AE+BE求得答案即可.
解答: (1)证明:如图,
 
连接OD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠C,
∴∠ODC=∠B,
∴OD∥AB,
∵DF⊥AB,
∴OD⊥DF,
∵点D在⊙O上,
∴直线DF与⊙O相切;
(2)解:∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形,
∴∠AED+∠ACD=180°,
∵∠AED+∠BED=180°,
∴∠BED=∠ACD,
∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BCA,
∴ = ,
∵OD∥AB,AO=CO,
∴BD=CD= BC=3,
又∵AE=7,
∴ = ,
∴BE=2,
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9.
点评: 此题考查切线的判定,三角形相似的判定与性质,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
3.(2015•枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC2=CD•2OE;
(3)若cos∠BAD= ,BE=6,求OE的长.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)连接OD,BD,由AB为圆O的直径,得到∠ADB为直角,可得出三角形BCD为直角三角形,E为斜边BC的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半,得到CE=DE,利用等边对等角得到一对角相等,再由OA=OD,利用等边对等角得到一对角相等,由直角三角形ABC中两锐角互余,利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余,可得出∠ODE为直角,即DE垂直于半径OD,可得出DE为圆O的切线;
(2)证明OE是△ABC的中位线,则AC=2OE,然后证明△ABC∽△BDC,根据相似三角形的对应边的比相等,即可证得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的长,根据三角形中位线定理OE的长即可求得.
解答: (1)证明:连接OD,BD,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,
∴CE=DE=BE= BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,即∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD为圆的半径,
∴DE为⊙O的切线;
(2)证明:∵E是BC的中点,O点是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴ = ,即BC2=AC•CD.
∴BC2=2CD•OE;
(3)解:∵cos∠BAD= ,
∴sin∠BAC= = ,
又∵BE=6,E是BC的中点,即BC=12,
∴AC=15.
又∵AC=2OE,
∴OE= AC= .
 
点评: 本题考查了切线的判定,垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
4.(2015•西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足 = ,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM,AM.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠ABM= ,AM=6,求⊙O的半径.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)要证AD是⊙O的切线,连接OA,只证∠DAO=90°即可.
(2)连接CM,根据垂径定理求得 = ,进而求得∠ABM=∠CBM,AM=CM=6,从而得出sin∠CBM= ,在RT△BMC中,利用正弦函数即可求得直径AB,进而求得半径.
解答: (1)证明:连接OA;
∵BC为⊙O的直径,BA平分∠CBF,AD⊥BF,
∴∠ADB=∠BAC=90°,∠DBA=∠CBA;
∵∠OAC=∠OCA,
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,
∴DA为⊙O的切线.
(2)解:连接CM,
∵OM⊥AC于点E,OM是半径,
∴ = ,
∴∠ABM=∠CBM,AM=CM=6,
∴sin∠ABM=sin∠CBM= ,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠BMC=90°,
在RT△BMC中,sin∠CBM= ,
∴ = ,
∴BC=10,
∴⊙O的半径为5.
 
点评: 本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了三角函数的知识.
5.(2015•广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA= ,求⊙O的半径.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线;
(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数;
(3)过点C作CG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG= BE=5,由于∠ADE=∠CGE=90°,∠AED=∠GEC,得到∠GCE=∠A,△ADE∽△CGE,于是得到sin∠ECG=sin∠A= ,在RtECG中求得CG= =12,根据三角形相似得到比例式 ,代入数据即可得到结果.
解答: (1)证明:连接OB
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线.
(2)解:如图1,连接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴AF=OF,
∵OA=OF,
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°
∴∠ABF= ∠AOF=30°;
(3)解:如图2,过点C作CG⊥BE于G,
∵CE=CB,
∴EG= BE=5,
∵∠ADE=∠CGE=90°,∠AED=∠GEC,
∴∠GCE=∠A,
∴△ADE∽△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A= ,
在RtECG中,
∵CG= =12,
∵CD=15,CE=13,
∴DE=2,
∵△ADE∽△CGE,
∴ ,
∴AD= ,CG= ,
∴⊙O的半径OA=2AD= .
 
 
点评: 本题考查了切线的判定和性质,等边三角形的判定和性质、圆周角定理等,熟练掌握性质定理是解题的关键.
6.(2015•北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)求证:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)如图,连接OE.欲证明PE是⊙O的切线,只需推知OE⊥PE即可;
(2)由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°,根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4,结合已知条件证得结论;
(3)设EF=x,则CF=2x,在RT△OEF中,根据勾股定理得出52=x2+(2x?5)2,求得EF=4,进而求得BE=8,CF=8,在RT△AEB中,根据勾股定理求得AE=6,然后根据△AEB∽△EFP,得出 = ,求得PF= ,即可求得PD的长.
解答: (1)证明:如图,连接OE.
∵CD是圆O的直径,
∴∠CED=90°.
∵OC=OE,
∴∠1=∠2.
又∵∠PED=∠C,即∠PED=∠1,
∴∠PED=∠2,
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°,即∠OEP=90°,
∴OE⊥EP,
又∵点E在圆上,
∴PE是⊙O的切线;
(2)证明:∵AB、CD为⊙O的直径,
∴∠AEB=∠CED=90°,
∴∠3=∠4(同角的余角相等).
又∵∠PED=∠1,
∴∠PED=∠4,
即ED平分∠BEP;
(3)解:设EF=x,则CF=2x,
∵⊙O的半径为5,
∴OF=2x?5,
在RT△OEF中,OE2=OF2+EF2,即52=x2+(2x?5)2,
解得x=4,
∴EF=4,
∴BE=2EF=8,CF=2EF=8,
∴DF=CD?CF=10?8=2,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=10,BE=8,
∴AE=6,
∵∠BEP=∠A,∠EFP=∠AEB=90°,
∴△AEB∽△EFP,
∴ = ,即 = ,
∴PF= ,
∴PD=PF?DF= ?2= .
 
点评: 本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理的应用,勾股定理的应用,三角形相似的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
7.(2015•莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE= .求证:CB是⊙O的切线.
 
考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: 连接OD,可得OB=OD,由AB=AD,得到AE垂直平分BD,在直角三角形BOE中,利用锐角三角函数定义求出OE的长,根据勾股定理求出BE的长,由OC?OE求出CE的长,再利用勾股定理求出BC的长,利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直,即可确定出BC为圆O的切线.
解答: 证明:连接OD,可得OB=OD,
∵AB=AD,
∴AE垂直平分BD,
在Rt△BOE中,OB=3,cos∠BOE= ,
∴OE= ,
根据勾股定理得:BE= = ,CE=OC?OE= ,
在Rt△CEB中,BC= =4,
∵OB=3,BC=4,OC=5,
∴OB2+BC2=OC2,
∴∠OBC=90°,即BC⊥OB,
则BC为圆O的切线.
 
点评: 此题考查了切线的判定,勾股定理及逆定理,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
8.(2015•锦州)如图,△ABC中,以AC为直径的⊙O与边AB交于点D,点E为⊙O上一点,连接CE并延长交AB于点F,连接ED.
(1)若∠B+∠FED=90°,求证:BC是⊙O的切线;
(2)若FC=6,DE=3,FD=2,求⊙O的直径.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A,进而得出∠B+∠A=90°,求出答案;
(2)利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED∽△FAC,进而求出即可.
解答: (1)证明:∵∠A+∠DEC=180°,∠FED+∠DEC=180°,
∴∠FED=∠A,
∵∠B+∠FED=90°,
∴∠B+∠A=90°,
∴∠BCA=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)解:∵∠CFA=∠DFE,∠FED=∠A,
∴△FED∽△FAC,
∴ = ,
∴ = ,
解得:AC=9,即⊙O的直径为9.
点评: 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识,得出△FED∽△FAC是解题关键.
9.(2015•甘孜州)如图,△ABC为等边三角形,以边BC为直径的半圆与边AB,AC分别交于D,F两点,过点D作DE⊥AC,垂足为点E.
(1)判断DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)过点F作FH⊥BC,垂足为点H,若AB=4,求FH的长(结果保留根号).
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)连接OD,由等边三角形的性质得出AB=BC,∠B=∠C=60°,证出△OBD是等边三角形,得出∠BOD=∠C,证出OD∥AC,得出DE⊥OD,即可得出结论;
(2)先证明△OCF是等边三角形,得出CF=OC= BC= AB=2,再由三角函数即可求出FH.
解答: 解:(1)DE是⊙O的切线;理由如下:
连接OD,如图1所示:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°,
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOD=60°,
∴∠BOD=∠C,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)连接OF,如图2所示:
∵OC=OF,∠C=60°,
∴△OCF是等边三角形,
∴CF=OC= BC= AB=2,
∵FH⊥BC,
∴∠FHC=90°,
∴FH=CF•sin∠C=2× = .
 
 
点评: 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数;熟练掌握等边三角形的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
10.(2015•包头)如图,AB是⊙O的直径,点D是 上一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF•DB;
(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和⊙O的半径.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°,再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°,则CB⊥AB,从而证得BC是⊙O的切线;
(2)通过证得△DEF∽△DBE,得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.
(3)连接DA、DO,先证得OD∥BE,得出 = ,然后根据已知条件得出 = = = ,求得PD=4,通过证得△PDA∽△POD,得出 = ,设OA=x,则PA=x,PO=2x,得出 = ,解得OA=2 .
解答: (1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∵∠EDB=∠EAB,∠BDE=∠CBE,
∴∠EAB=∠CBE,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∴CB⊥AB,
∵AB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)证明:∵BD平分∠ABE,
∴∠ABD=∠DBE, = ,
∴∠DEA=∠DBE,
∵∠EDB=∠BDE,
∴△DEF∽△DBE,
∴ = ,
∴DE2=DF•DB;
(3)解:连接DA、DO,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵∠EBD=∠OBD,
∴∠EBD=∠ODB,
∴OD∥BE,
∴ = ,
∵PA=AO,
∴PA=AO=OB,
∴ =
∴ = ,
∴ = ,
∵DE=2,
∴PD=4,
∵∠PDA+∠ADE=180°,∠ABE+∠ADE=180°,
∴∠PDA=∠ABE,
∵OD∥BE,
∴∠AOD=∠ABE,
∴∠PDA=∠AOD,
∵∠P=∠P,
∴△PDA∽△POD,
∴ = ,
设OA=x,
∴PA=x,PO=2x,
∴ = ,
∴2x2=16,x=2 ,
∴OA=2 .
 
点评: 本题考查了切线的判定,三角形相似的判定和性质;要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
11.(2015•本溪)如图,点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点,且AC=CD,以AB为直径作⊙O,分别交边AC、BC于点E、点F
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)连接OC,交⊙O于点G,若AB=4,求线段CE、CG与 围成的阴影部分的面积S.
 
考点: 切线的判定;等边三角形的判定与性质;扇形面积的计算.
分析: (1)求出∠DAC=30°,即可求出∠DAB=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)连接OE,分别求出△AOE、△AOC,扇形OEG的面积,即可求出答案.
解答: (1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,
又∵AC=CD,
∴AC=BC=CD,
∴△ABD为直角三角形,
∴AB⊥AD,
∵AB为直径,
∴AD是⊙O的切线;
(2)解:连接OE,
∵OA=OE,∠BAC=60°,
∴△OAE是等边三角形,
∴∠AOE=60°,
∵CB=BA,OA=OB,
∴CO⊥AB,
∴∠AOC=90°,
∴∠EOC=30°,
∵△ABC是边长为4的等边三角形,
∴AO=2,由勾股定理得:OC= =2 ,
同理等边三角形AOE边AO上高是 = ,
S阴影=S△AOC?S等边△AOE?S扇形EOG= = .
点评: 本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,三角形面积,扇形的面积,切线的判定的应用,能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.
12.(2015•常德)已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)连接FO,由F为BC的中点,AO=CO,得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直径,得出CE⊥AE,根据OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论.
(2)证出△AOE是等边三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性质即可得到结果.
解答: 证明:(1)如图1,连接FO,
∵F为BC的中点,AO=CO,
∴OF∥AB,
∵AC是⊙O的直径,
∴CE⊥AE,
∵OF∥AB,
∴OF⊥CE,
∴OF所在直线垂直平分CE,
∴FC=FE,OE=OC,
∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE,
∵∠ACB=90°,
即:∠0CE+∠FCE=90°,
∴∠0EC+∠FEC=90°,
即:∠FEO=90°,
∴FE为⊙O的切线;
(2)如图2,∵⊙O的半径为3,
∴AO=CO=EO=3,
∵∠EAC=60°,OA=OE,
∴∠EOA=60°,
∴∠COD=∠EOA=60°,
∵在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3,
∴CD= ,
∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
CD= ,AC=6,
∴AD= .
 
 
点评: 本题考查了切线的判定和性质,三角形的中位线的性质,勾股定理,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质,熟练掌握定理是解题的关键.
13.(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
 
考点: 切线的判定;解直角三角形.
分析: (1)根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°,得出TA⊥AB,从而证得AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,设OA=x,则AT=2x,根据勾股定理得出OT= x,TC=( ?1)x,由CD⊥AT,TA⊥AB得出CD∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出 = = ,即 = = ,从而求得CD=(1? )x,AD=2x?2(1? )x= x,然后解正切函数即可求得.
解答: 解:(1)∵∠ABT=45°,AT=AB.
∴∠TAB=90°,
∴TA⊥AB,
∴AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,
∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,
设OA=x,则AT=2x,
∴OT= x,
∴TC=( ?1)x,
∵CD⊥AT,TA⊥AB
∴CD∥AB,
∴ = = ,即 = = ,
∴CD=(1? )x,TD=2(1? )x,
∴AD=2x?2(1? )x= x,
∴tan∠TAC= = = .
 
点评: 本题考查了切线的判定,勾股定理的应用,平行线的判定和性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
14.(2015•衡阳)如图,AB是⊙O的直径,点C、D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
 
考点: 切线的判定;菱形的判定.
分析: (1)连接AC,由题意得 = = ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,从而得出∠OCE=90°,即可证得结论;
(2)四边形AOCD为菱形.由 = ,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
解答: 解:(1)连接AC,
∵点CD是半圆O的三等分点,
∴ = = ,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)
∴∠OCE=∠E,
∵CE⊥AD,
∴∠OCE=90°,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切线;
(2)四边形AOCD为菱形.
理由是:
∵ = ,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∵OA=OC,
∴平行四边形AOCD是菱形.
 
点评: 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质,是中学阶段的重点内容.
15.(2015•攀枝花)如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若OF:OB=1:3,⊙O的半径R=3,求 的值.
 
考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: (1)连结OD,如图,由EF=ED得到∠EFD=∠EDF,再利用对顶角相等得∠EFD=∠CFO,则∠CFO=∠EDF,由于∠OCF+∠CFO=90°,∠OCF=∠ODF,则∠ODC+∠EDF=90°,于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线;
(2)由OF:OB=1:3得到OF=1,BF=2,设BE=x,则DE=EF=x+2,根据圆周角定理,由AB为直径得到∠ADB=90°,接着证明△EBD∽△EDA,利用相似比得 = = ,即 = = ,然后求出x的值后计算 的值.
解答: (1)证明:连结OD,如图,
∵EF=ED,
∴∠EFD=∠EDF,
∵∠EFD=∠CFO,
∴∠CFO=∠EDF,
∵OC⊥OF,
∴∠OCF+∠CFO=90°,
而OC=OD,
∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OF:OB=1:3,
∴OF=1,BF=2,
设BE=x,则DE=EF=x+2,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO=∠BDE,
而∠ADO=∠A,
∴∠BDE=∠A,
而∠BED=∠DAE,
∴△EBD∽△EDA,
∴ = = ,即 = = ,
∴x=2,
∴ = = .
 
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.
16.(2015•河池)如图,AB为⊙O的直径,CO⊥AB于O,D在⊙O上,连接BD,CD,延长CD与AB的延长线交于E,F在BE上,且FD=FE.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)若AF=8,tan∠BDF= ,求EF的长.
 
考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: (1)连结OD,如图,由CO⊥AB得∠E+∠C=90°,根据等腰三角形的性质由FE=FD,OD=OC得到∠E=∠FDE,∠C=∠ODC,于是有∠FDE+∠ODC=90°,则可根据切线的判定定理得到FD是⊙O的切线;
(2)连结AD,如图,利用圆周角定理,由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°,则∠A+∠ABD=90°,加上∠OBD=∠ODB,∠BDF+∠ODB=90°,则∠A=∠BDF,易得△FBD∽△FDA,根据相似的性质得 = ,
再在Rt△ABD中,根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF= = ,于是可计算出DF=2,从而得到EF=2.
解答: (1)证明:连结OD,如图,
∵CO⊥AB,
∴∠E+∠C=90°,
∵FE=FD,OD=OC,
∴∠E=∠FDE,∠C=∠ODC,
∴∠FDE+∠ODC=90°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥DF,
∴FD是⊙O的切线;
(2)解:连结AD,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠ABD=90°,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠A+∠ODB=90°,
∵∠BDF+∠ODB=90°,
∴∠A=∠BDF,
而∠DFB=∠AFD,
∴△FBD∽△FDA,
∴ = ,
在Rt△ABD中,tan∠A=tan∠BDF= = ,
∴ = ,
∴DF=2,
∴EF=2.
 
点评: 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.
17.(2015•毕节市)如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.
 
考点: 切线的判定.
专题: 证明题.
分析: (1)连结OA、OD,如图,根据垂径定理的推理,由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE,则∠D+∠DFO=90°,再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA,根据对顶角相等得∠CFA=∠DFO,所以∠CAF=∠DFO,加上∠OAD=∠ODF,则∠OAD+∠CAF=90°,于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线;
(2)由于圆的半径R=5,EF=3,则OF=2,然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长.
解答: (1)证明:连结OA、OD,如图,
∵D为BE的下半圆弧的中点,
∴OD⊥BE,
∴∠D+∠DFO=90°,
∵AC=FC,
∴∠CAF=∠CFA,
∵∠CFA=∠DFO,
∴∠CAF=∠DFO,
而OA=OD,
∴∠OAD=∠ODF,
∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°,
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(2)解:∵圆的半径R=5,EF=3,
∴OF=2,
在Rt△ODF中,∵OD=5,OF=2,
∴DF= = .
 
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理.
18.(2015•盐城)如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与⊙O相切.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)根据圆周角定理即可得到结论;
(2)连接OE,通过△EAO≌△EDO,即可得到∠EDO=90°,于是得到结论.
解答: (1)解;∵∠DBA=50°,
∴∠DOA=2∠DBA=100°,
(2)证明:连接OE.
在△EAO与△EDO中, ,
∴△EAO≌△EDO,
∴∠EDO=∠EAO,
∵∠BAC=90°,
∴∠EDO=90°,
∴DE与⊙O相切.
 
点评: 本题考查了切线的判定,全等三角形的判定和性质,连接OE构造全等三角形是解题的关键.
19.(2015•怀化)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE
(1)求证:△ABC∽△CBD;
(2)求证:直线DE是⊙O的切线.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)根据AC为⊙O的直径,得出△BCD为Rt△,通过已知条件证明△BCD∽△BAC即可;
(2)连结DO,如图,根据直角三角形斜边上的中线性质,由∠BDC=90°,E为BC的中点得到DE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切.
解答: (1)证明:∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BDC,
又∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC;
(2)连结DO,如图,
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD,
∴DE与⊙O相切.
 
点评: 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质.
20.(2015•巴中)如图,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,交⊙O于点E,连结CE、AE、CD,若∠AEC=∠ODC.
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.
 
考点: 切线的判定.
分析: (1)利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°,即可得出答案;
(2)利用圆周角定理得出∠ACB=90°,利用相似三角形的判定与性质得出DC的长.
解答: (1)证明:连接OC,
∵∠CEA=∠CBA,∠AEC=∠ODC,
∴∠CBA=∠ODC,
又∵∠CFD=∠BFO,
∴∠DCB=∠BOF,
∵CO=BO,
∴∠OCF=∠B,
∵∠B+∠BOF=90°,
∴∠OCF+∠DCB=90°,
∴直线CD为⊙O的切线;
(2)解:连接AC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠DCO=∠ACB,
又∵∠D=∠B
∴△OCD∽△ACB,
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∴AC=3,
∴ = ,
即 = ,
解得;DC= .
 
点评: 此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质,得出△OCD∽△ACB是解题关键.
21.(2015•宁夏)如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2 ,求BC的长.
 
考点: 切线的判定.
分析: 连接OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;
(2)证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出BC的长.
解答: (1)证明:连接OB,如图所示:
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∵∠PBA=∠C,
∴∠PBA+∠OBA=90°,
即PB⊥OB,
∴PB是⊙O的切线;
(2)解:∵⊙O的半径为2 ,
∴OB=2 ,AC=4 ,
∵OP∥BC,
∴∠C=∠BOP,
又∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO,
∴ ,
即 ,
∴BC=2.
 
点评: 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质;熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键.
22.(2015•昆明)如图,AH是⊙O的直径,AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF,垂足为F,B为直径OH上一点,点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.
(1)求证:直线FG是⊙O的切线;
(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径.
 
考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
分析: (1)连接OE,证明FG是⊙O的切线,只要证明∠OEF=90°即可;
(2)设OA=OE=x,则OB=10?x,在Rt△OBE中,∠OBE=90°,BE=5,由勾股定理得:OB2+BE2=OE2,即(10?x)2+52=x2,求出x的值,即可解答.
解答: 解:(1)如图1,连接OE,
 
∵OA=OE,
∴∠EAO=∠AEO,
∵AE平分∠FAH,
∴∠EAO=∠FAE,
∴∠FAE=∠AEO,
∴AF∥OE,
∴∠AFE+∠OEF=180°,
∵AF⊥GF,
∴∠AFE=∠OEF=90°,
∴OE⊥GF,
∵点E在圆上,OE是半径,
∴GF是⊙O的切线.
(2)∵四边形ABCD是矩形,CD=10,
∴AB=CD=10,∠ABE=90°,
设OA=OE=x,则OB=10?x,
在Rt△OBE中,∠OBE=90°,BE=5,
由勾股定理得:OB2+BE2=OE2,
∴(10?x)2+52=x2,
∴ ,
 ,
∴⊙O的直径为 .
点评: 本题考查的是切线的判定,解决本题的关键是要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
23.(2015•厦门)已知四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC=90°,∠DCB<90°,对角线AC平分∠DCB,延长DA,CB相交于点E.
(1)如图1,EB=AD,求证:△ABE是等腰直角三角形;
(2)如图2,连接OE,过点E作直线EF,使得∠OEF=30°,当∠ACE≥30°时,判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由.
 
考点: 切线的判定;等腰直角三角形.
专题: 证明题.
分析: (1)由∠ACD=∠ABC得到 = ,则AD=AB,加上EB=AD,则AB=EB,再根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°,于是可判断△ABE是等腰直角三角形
(2)由于∠ACD=∠ABC,∠ACE≥30°,则60°≤∠DCE<90°,根据三角形边角关系得AE≥AC,而OE>AE,所以OE>AC,作OH⊥EF于H,如图,根据含30度的直角三角形三边的关系得OH= OE,所以OH>OA,则根据直线与圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离.
解答: (1)证明:∵对角线AC平分∠DCB,
∴∠ACD=∠ABC,
∴ = ,
∴AD=AB,
∵EB=AD,
∴AB=EB,
∵∠EBA=∠ADC=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形
(2)解:直线EF与⊙O相离.理由如下:
∵∠DCB<90°,∠ACD=∠ABC,
∵∠ACE≥30°,
∴60°≤∠DCE<90°,
∴∠AEC≤30°,
∴AE≥AC,
∵OE>AE,
∴OE>AC,
作OH⊥EF于H,如图,
在Rt△OEH中,∵∠OEF=30°,
∴OH= OE,
∴OH>OA,
∴直线EF与⊙O相离.
 
点评: 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了等腰直角三角形的性质和直线与圆的位置关系.
24.(2015•福州)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,tanB= ,半径为2的⊙C,分别交AC,BC于点D,E,得到 .
(1)求证:AB为⊙C的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
 
考点: 切线的判定;勾股定理;扇形面积的计算.
专题: 计算题.
分析: (1)过点C作CH⊥AB于H,如图,先在Rt△ABC中,利用正切的定义计算出BC=2AC=2 ,再利用勾股定理计算出AB=5,接着利用面积法计算出CH=2,则可判断CH为⊙C的半径,然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙C的切线;
(2)根据三角形面积公式和扇形的面积公式,利用S阴影部分=S△ACB?S扇形CDE进行计算即可.
解答: (1)证明:过点C作CH⊥AB于H,如图,
在Rt△ABC中,∵tanB= = ,
∴BC=2AC=2 ,
∴AB= = =5,
∵ CH•AB= AC•BC,
∴CH= =2,
∵⊙C的半径为2,
∴CH为⊙C的半径,
而CH⊥AB,
∴AB为⊙C的切线;
(2)解:S阴影部分=S△ACB?S扇形CDE
= ×2×5?
=5?π.
 
点评: 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径.也考查了勾股定理和扇形面积的计算.
25.(2015•黄石)如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC交⊙O于D,D是BC的中点.
(1)求BC的长;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为E,求证:直线DE是⊙O的切线.
 
考点: 切线的判定;含30度角的直角三角形;圆周角定理.
分析: (1)根据圆周角定理求得∠ADB=90°,然后解直角三角形即可求得BD,进而求得BC即可;
(2)要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可.
解答: 证明:(1)解:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
又∵∠ABC=30°,AB=4,
∴BD=2 ,
∵D是BC的中点,
∴BC=2BD=4 ;
(2)证明:连接OD.
∵D是BC的中点,O是AB的中点,
∴DO是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,则∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC,
∴∠CED=90°,∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线.
 
点评: 此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质.解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线.
26.(2015•营口)如图,点P是⊙O外一点,PA切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,连接OP,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC交OP于点D.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若PD= cm,AC=8cm,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,若点E是 的中点,连接CE,求CE的长.
 
考点: 切线的判定;扇形面积的计算.
分析: (1)连接OC,证明△PAO≌△PCO,得到∠PCO=∠PAO=90°,证明结论;
(2)证明△ADP∽△PDA,得到成比例线段求出BC的长,根据S阴=S⊙O?S△ABC求出答案;
(3)连接AE、BE,作BM⊥CE于M,分别求出CM和EM的长,求和得到答案.
解答: (1)证明:如图1,连接OC,
∵PA切⊙O于点A,∴∠PAO=90°,
∵BC∥OP,
∴∠AOP=∠OBC,∠COP=∠OCB,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠AOP=∠COP,
在△PAO和△PCO中,
 ,
∴△PAO≌△PCO,
∴∠PCO=∠PAO=90°,
∴PC是⊙O的切线;
(2)解:由(1)得PA,PC都为圆的切线,
∴PA=PC,OP平分∠APC,∠ADO=∠PAO=90°,
∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD,
∴∠PAD=∠AOD,
∴△ADP∽△PDA,
∴ ,
∴AD2=PD•DO,
∵AC=8,PD= ,
∴AD= AC=4,OD=3,AO=5,
由题意知OD为△的中位线,
∴BC=6,OD=6,AB=10.
∴S阴=S⊙O?S△ABC= ?24;
(3)解:如图2,连接AE、BE,作BM⊥CE于M,
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°,
∵点E是 的中点,
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°,
CM=MB=3 ,
BE=AB•cos45°=5 ,
∴EM= =4 ,
则CE=CM+EM=7 .
 
 
点评: 本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质,灵活运用切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键.
27.(2015•宜宾)如图,CE是⊙O的直径,BD切⊙O于点D,DE∥BO,CE的延长线交BD于点A.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若AE=2,tan∠DEO= ,求AO的长.
 
考点: 切线的判定与性质.
分析: (1)连接OD,由DE∥BO,得到∠1=∠4,∠2=∠3,通过△DOB≌△COB,得到∠OCB=∠ODB,问题得证;
(2)根据三角函数tan∠DEO=tan∠2= ,设;OC=r,BC= r,得到BD=BC= r,由切割线定理得到AD=2 ,再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果.
解答: 解:(1)连接OD,
∵DE∥BO,
∴∠1=∠4,∠2=∠3,
∵OD=OE,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
在△DOB与△COB中,
 ,
∴△DOB≌△COB,
∴∠OCB=∠ODB,
∵BD切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∴∠OCB=90°,
∴AC⊥BC,
∴直线BC是⊙O的切线;
(2)∵∠DEO=∠2,
∴tan∠DEO=tan∠2= ,
设;OC=r,BC= r,
由(1)证得△DOB≌△COB,
∴BD=BC= r,
由切割线定理得:AD2=AE•AC=2(2+r),
∴AD=2 ,
∵DE∥BO,
∴ ,
∴ ,
∴r=1,
∴AO=3.
 
点评: 本题考查了切线的判定和性质,全等三角形的判定与性质.切割线定理,平行线分线段成比例,掌握定理是解题的关键.
28.(2015•随州)如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO.
(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明:PC是⊙O的切线;
(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求 的长.
 
考点: 切线的判定与性质;弧长的计算;作图—基本作图.
分析: (1)按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可,连接OA,作OB⊥PC,根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线;
(2)首先证明△PAB是等边三角形,则∠APB=60°,进而∠POA=60°,在Rt△AOP中求出OA,用弧长公式计算即可.
解答: 解:(1)作图如右图,
连接OA,过O作OB⊥PC,
∵PA切⊙O于点A,
∴OA⊥PA,
又∵∠OPC=∠OPA,OB⊥PC,
∴OA=OB,即d=r,
∴PC是⊙O的切线;
(2)∵PA、PC是⊙O的切线,
∴PA=PB,
又∵AB=AP=4,
∴△PAB是等边三角形,
∴∠APB=60°,
∴∠AOB=120°,∠POA=60°,
在Rt△AOP中,tan60°=
∴OA=
∴ = = .
 
点评: 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算,求出圆心角和半径长是解决问题的关键.
29.(2015•潜江)如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)当OB=3,PA=6时,求MB,MC的长.
 
考点: 切线的判定与性质.
分析: (1)根据切线的性质,可得∠MAP=90°,根据直角三角形的性质,可得∠P+M=90°,根据余角的性质,可得∠M+∠MOB=90°,根据直角三角形的判定,可得∠MOB=90°,根据切线的判定,可得答案;
(2)根据相似三角形的判定与性质,可得 = = ,根据解方程组,可得答案.
解答: (1)证明:∵PA切⊙O于点A,
∴∠MAP=90°,
∴∠P+M=90°.
∵∠COB=∠APB,
∴∠M+∠MOB=90°,
∴∠MOB=90°,即OB⊥PB,
∵PB经过直径的外端点,
∴PB是⊙O的切线;
(2)∵∠COB=∠APB,∠OBM=∠PAM,
∴△OBM∽△APM,
∴ = = ,
 =   ①,
 =    ②
联立①②得 ,
解得 ,
当OB=3,PA=6时,MB=4,MC=2.
点评: 本题考查了切线的判定与性质,(1)利用了切线的判定与性质,直角三角形的判定与性质,余角的性质;(2)利用了相似三角形的判定与性质,解方程组.
30.(2015•广安)如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若 = ,且OC=4,求PA的长和tanD的值.
 
考点: 切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
分析: (1)连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得:OP是线段AB的垂直平分线,进而可得:PA=PB,然后证明△PAO≌△PBO,进而可得∠PBO=∠PAO,然后根据切线的性质可得∠PBO=90°,进而可得:∠PAO=90°,进而可证:PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,由 = ,且OC=4,可求AC,OA的值,然后根据射影定理可求PC的值,从而可求OP的值,然后根据勾股定理可求AP的值;由AC=BC,AO=OE,可得OC是△ABE的中位线,进而可得BE∥OP,BE=2OC=8,进而可证△DBE∽△DPO,进而可得: ,从而求出BD的值,进而即可求出tanD的值.
解答: (1)证明:连接OB,则OA=OB,
 
∵OP⊥AB,
∴AC=BC,
∴OP是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中,
∵ ,
∴△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠PBO=∠PAO,PB=PA,
∵PB为⊙O的切线,B为切点,
∴∠PBO=90°,
∴∠PAO=90°,
即PA⊥OA,
∴PA是⊙O的切线;
(2)连接BE,
 
∵ = ,且OC=4,
∴AC=6,
∴AB=12,
在Rt△ACO中,
由勾股定理得:AO= =2 ,
∴AE=2OA=4 ,OB=OA=2 ,
在Rt△APO中,
∵AC⊥OP,
∴AC2=OC•PC,
解得:PC=9,
∴OP=PC+OC=13,
在Rt△APO中,由勾股定理得:AP= =3 ,
∴PB=PA=3 ,
∵AC=BC,OA=OE,
∴OC= BE,OC∥BE,
∴BE=2OC=8,BE∥OP,
∴△DBE∽△DPO,
∴ ,
即 ,
解得:BD= ,
在Rt△OBD中,
tanD= = = .
点评: 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质;能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.要证某线是圆的切线,对于切线的判定:已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.


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