逍遥右脑 2015-05-28 09:40
广东省深圳市宝安区2012-2013学年九年级（上）期中
数学试卷
一、（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确）
1．（3分）如图，是空心圆柱的两种视图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．.
专题：几何图形问题．
分析：分别找到从正面，从上面看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图和俯视图中．
解答：解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环；
俯视图是矩形，且有两条竖着的虚线．
故选B．
点评：本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
2．（3分）（2011•张家界）已知1是关于x的一元二次方程（?1）x2+x+1=0的一个根，则的值是（ ）
A．1B．?1C．0D．无法确定
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．.
分析：把x=1代入方程，即可得到一个关于的方程，即可求解．
解答：解：根据题意得：（?1）+1+1=0，
解得：=?1．
故选B．
点评：本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
3．（3分）（2010•义乌）小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游，上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆，下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式．.
专题：压轴题．
分析：列举出所有情况，看上午选中台湾馆，下午选中法国馆的情况占总情况的多少即可．
解答：解：上午可选择3个馆，下午可选择3个馆，那么一共有3×3=9种可能，小明恰好上午选中台湾馆，下午选中法国馆这两个场馆的概率是 ，故选A．
点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
4．（3分）（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线B．三角形的中线
C．三角形的高D．三角形的中位线
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形中位线定理．.
专题：．
分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．
解答：解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的高在三角形的外部．
故选C．
点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
5．（3分）用配方法解方程x2?4x+3=0，配方后的结果为（ ）
A．（x?1）（x?3）=0B．（x?4）2=13C．（x?2）2=1D．（x?2）2=7
考点：解一元二次方程-配方法．.
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：∵x2?4x+3=0
∴x2?4x=?3
∴x2?4x+4=?3+4
∴（x?2）2=1
故选C．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．（3分）（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A．SSSB．ASA
C．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等
考点：全等三角形的判定与性质；作图―基本作图．.
专题：证明题．
分析：连接NC，C，根据SSS证△ONC≌△OC，即可推出答案．
解答：解：连接NC，C，
在△ONC和△OC中
，
∴△ONC≌△OC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
7．（3分）某商品原价为200元，为了吸引更多顾客，商场连续两次降价后售价为162元，求平均每次降价的百分率是多少？设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．162（1+x）2=200B．200（1?x）2=162
C．200（1?2x）=162D．162+162（1+x）+162（1+x）2=200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．.
专题：增长率问题．
分析：第一次降价后的价格=原价×（1?降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1?降低的百分率），把相关数值代入即可．
解答：解：∵原价为200元，平均每次降价的百分率为x，
∴第一次降价后的价格=200×（1?x），
∴第二次降价后的价格=200×（1?x）×（1?x）=200×（1?x）2，
∴根据第二次降价后的价格为162元，列方程可得200（1?x）2=162，
故选B．
点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
8．（3分）已知点（?1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y= 的图象上．下列结论中正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：先把点（?1，y1），（2，y2），（3，y3）分别代入反比例函数解析式求出y1，y2，y3，分别比较大小即可．
解答：解：把点（?1，y1），（2，y2），（3，y3）分别代入反比例函数y= ，
得y1=1，y2=? ，y3=? ，
即y1＞y3＞y2．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k≠0）的图象上的点的横纵坐标之积为k．
9．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
考点：等边三角形的判定与性质．.
专题：压轴题．
分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．
解答：解：△ABC沿CD折叠B与E重合，
则BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选B．
点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．
10．（3分）下列命题：
①方程x2=x的解是x=1；
②有两边和一角相等的两个三角形全等；
③顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；
④4的平方根是2．
其中真命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
考点：命题与定理．.
分析：利用因式分解法解方程x2=x可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法可对②进行判断；由于等腰梯形的性质和菱形的判定方法可对③进行判断；根据平方根的定义对④进行判断．
解答：解：方程x2=x的解是x1=1，x2=0，所以①为假命题；有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以②为假命题；顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，所以③为真命题；4的平方根是±2，所以④为假命题．
故选D．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
11．（3分）（2011•鞍山）在同一个直角坐标系中，函数y=kx和 的图象的大致位置是（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的图象；正比例函数的图象．.
专题：压轴题．
分析：根据正比例函数和反比例函数的图象性质并结合其系数作答．
解答：解：由于正比例函数和反比例函数的比例系数相同，所以它们经过相同的象限，因而一定有交点，排除A，C；
又因为正比例函数一定经过原点，所以排除D．
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
12．（3分）（2013•宜城市模拟）如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．.
分析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
解答：解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故本选项正确．
B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故本选项正确．
C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故本选项正确．
D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故本选项错误．
故选D．
点评：本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．
二、题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）双曲线y= 的图象经过点（2，4），则双曲线的表达式是 ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．.
分析：利用待定系数法把（2，4）代入反比例函数y= 中，即可算出k的值，进而得到反比例函数解析式．
解答：解：∵双曲线y= 的图象经过点（2，4），
∴k=2×4=8，
∴双曲线的表达式是y= ，
故答案为：y= ．
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，关键是正确把点的坐标代入函数解析式．
14．（3分）（2010•萧山区模拟）如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠（点E、F是边CD上两点），使点C与D在形内重合于点P处，则∠EPF= 120 度．
考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；正方形的性质．.
分析：根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
解答：解：∵正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠，∴AP=PB=AB，∠APB=60°．∴∠EPF=120°．
故答案为：120．
点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称．
15．（3分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有 6037 枚棋子．
考点：规律型：图形的变化类．.
分析：根据图形中点的个数得到有关棋子个数的通项公式，然后代入数值计算即可．
解答：解：观察图形知：
第1个图形有3+1=4个棋子，
第2个图形有3×2+1=7个棋子，
第3个图形有3×3+1=10个棋子，
第4个图形有3×4+1=13个棋子，
…
第n个图形有3n+1个棋子，
当n=2012时，3×2012+1=6037个，
故答案为：6037
点评：本题考查了图形的变化类问题，能够根据图形得到通项公式是解决本题的关键．
16．（3分）（2007•南通）如图，已知矩形OABC的面积为 ，它的对角线OB与双曲线 相交于点D，且OB：OD=5：3，则k= 12 ．
考点：反比例函数系数k的几何意义．.
专题：压轴题．
分析：先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值．
解答：解：由题意，设点D的坐标为（xD，yD），
则点B的坐标为（ xD， yD），
矩形OABC的面积= xD× yD= ，
∵图象在第一象限，
∴k=xD•yD=12．
点评：本题考查了反比例函数与几何图形的结合，综合性较强，同学们应重点掌握．
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题8分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）（2012•安徽）解方程：x2?2x=2x+1．
考点：解一元二次方程-配方法．.
专题：压轴题．
分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
解答：解：∵x2?2x=2x+1，
∴x2?4x=1，
∴x2?4x+4=1+4，
（x?2）2=5，
∴x?2=± ，
∴x1=2+ ，x2=2? ．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（6分）小江计划将鱼在年底打捞出来运往某地出售，为了预订车辆运输，必须知道鱼塘内共有多少千克的鱼，他第一次从鱼塘中打捞出100条鱼，共240kg，作上记号后，又放回鱼塘．过了两天，又捞出200条鱼，共510kg，且发现其中有记号的鱼只有4条．
（1）估计鱼塘中总共有多少条鱼？
（2）若平均每千克鱼可获利润5元，预计小江今年卖鱼总利润约多少钱？
考点：用样本估计总体；分式方程的应用．.
专题：．
分析：（1）等量关系为：4÷200=100÷鱼的总数，把相关数值代入计算即可；
（2）求得捞出鱼的总重量，除以捞出鱼的总条数即为一条鱼的重量，乘以鱼的总条数，再乘以每千克鱼的利润可得总利润．
解答：解：（1）设鱼塘中总共有x条鱼，由题意 ，
解得x=5000，经检验，x=5000是原方程的根．
答：鱼塘中总共有大约5000条鱼．
（2）解：塘中平均每条鱼约重（240+510）÷（（100+200）=2.5（kg）；
塘中鱼的总质量约为2.5×5000=12500（kg）；
小江可获利润总额为12500×5=62500（元）
答：预计小江今年卖鱼总利润约62500元．
点评：考查用样本估计总体的有关计算；用样本概率估计总体是解决本题的思想；求得塘中平均每条鱼的重量是解决本题的易错点；用到的知识点为：样本容量越大，得到的数值越精确．
19．（8分）（2008•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
专题：探究型．
分析：AF应该和CE相等，可通过证明三角形ADF和三角形BEC全等来实现．根据平行四边形的性质我们可得出：AD=BC，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，因为DF和BE是∠ADC，∠CBA的平分线，那么不难得出∠ADF=∠CBE，这样就有了两角夹一边，就能得出两三角形全等了．
解答：解：AF=CE．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，
又∵∠ADF= ∠ADC，∠CBE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AF=CE．
点评：求某两条条线段相等，可通过证明他们所在的三角形全等来实现，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
20．（7分）在一次测量旗杆高度的活动中，某小组使用的方案如下：AB表示某同学从眼睛到脚底的距离，CD表示一根标杆，EF表示旗杆，AB、CD、EF都垂直于地面，若AB=1.6，CD=2，人与标杆之间的距离BD=1，标杆与旗杆之间的距离DF=30，求旗杆EF的高度．
考点：相似三角形的应用．.
专题：．
分析：过点A作AH⊥EF于H点，AH交CD于G，根据EF∥AB∥CD可求出EF、HB、GD，再根据相似三角形的判定定理可得△ACG∽△AEH，再根据三角形的相似比解答即可．
解答：解：过点A作AH⊥EF于H点，AH交CD于G，
∵CD∥EF，
∴△ACG∽△AEH，
∴ ，
即： ，
∴EH=12.4．
∴EF=EH+HF=12.4+1.6=14，
∴旗杆的高度为14米．
点评：此题难度不大，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
21．（8分）（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
考点：一元二次方程的应用．.
专题：增长率问题．
分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60?x?40）（100+ ×20）=2240． …4分
化简，得 x2?10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60?6=54（元）， ． …9分
答：该店应按原售价的九折出售． …10分
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
22．（9分）（2010•达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4g/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46g/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34g/L时，井下3k的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少k/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4g/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．.
专题：应用题；压轴题．
分析：（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知 （k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．
（2）结合以上关系式，当y=34时，由y=6x+4得x=5，从而求出撤离的最长时间，再由v= 速度．
（3）由关系式y= 知，y=4时，x=80.5，矿工至少在爆炸后80.5?7=73.5（小时）才能下井．
解答：解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b（k1≠0），
由图象知y=k1x+b过点（0，4）与（7，46），
则 ，
解得 ，
则y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．
（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数关系式为 （k2≠0）．
由图象知 过点（7，46），
∴ ，
∴k2=322，
∴ ，此时自变量x的取值范围是x＞7．
（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．
∴撤离的最长时间为7?5=2（小时）．
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（k/h）．
（3）当y=4时，由y= 得，x=80.5，
80.5?7=73.5（小时）．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
23．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．.
专题：．
分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得 = ，求出AD的长．
解答：解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH= BC=3，
∴AH= = =4，
∴S△ABC= BC•AH= ×6×4=12．
（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴a= ．
（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得 = ，
即 = ，解得DE= x，
当BD=DG时，5?x= x，x= ，
当BD=BG时， = ，解得x= ，
当BG=DG时， = ，解得x= ，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD= 或 或 ．
点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．