湖南师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试试题 数学（理）.D

命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月　15日　　)满分：100分(必考试卷)　　　　50分(必考试卷)时量：120分钟得分：　　　　　　　必考试卷一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i＋i2在复平面内表示的点在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设xR，则x>e的一个必要不充分条件是A.x>1 B.x3 D.x5)的两个焦点，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为A.10 B.20 C.2 D.47.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－2)f′(x)≤0，则必有A.f(－3)＋f(3)2f(2)C.f(－3)＋f(3)≤2f(2) D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数10的值是　　　　　　.9.用反证法证明命题：“若x，y>0，且x＋y>2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为　　　　　　　　　　　　　　.10.已知等差数列{an}中，有＝成立.类似地，在等比数列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.11.曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为　.12.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则c的值为　　　　　.13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An＋Bn＝　　　　　.三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14.(本小题满分11分)已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AEPD；(2)若H为PD上一点，且AHPD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求?的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：?为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，xR.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝与直线y＝m(m>0)公共点的个数；(3)设函数h满足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，试比较h(e)与的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案－湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷一、选择题1－4.BABC　5－7.BDC二、填空题8.－1　　9.，都不小于2　　10.＝11.2　　12.6　　13.2n3三、解答题14.解：函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，所以a＝1，b＝0，于是f(x)＝x3－27x，f′(x)＝3x2－27.(4分)当x(－3,3)时，f′(x)0.又函数f(x)在[－4,5]上连续.f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜测an＝2－(5分)(2)由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－，(8分)当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)根据得nN＋时，an＝2－都成立.(12分)16.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC.又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD＝A，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.(5分)(2)解：因为AHPD，由(1)知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE＝，此时tanEHA＝＝＝，因此AH＝.又AD＝2，所以ADH＝45°，所以PA＝2.(8分)解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD.过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连结ES，则ESO为二面角E－AF－C的平面角，在RtAOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，又F是PC的中点，在RtASO中，SO＝AO?sin 45°＝，又SE＝＝＝，在RtESO中，cosESO＝＝＝，即所求二面角的余弦值为.(12分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F，所以＝(，0,0)，＝.设平面AEF的一法向量为m＝(x1，y1，z1)，则因此取z1＝－1，则m＝(0,2，－1)，因为BDAC，BDPA，PA∩AC＝A，所以BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又＝(－，3,0)，所以cos〈m，〉＝＝＝.因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)必考试卷一、选择题1.D　【解析】由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)0.由于点M在椭圆C上，所以y＝1－.(*)(4分)由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3＝2－.(6分)由于－20，由已知T(－2,0)，则?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)故当cos θ＝－时，?取得最小值为－，此时M，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝.故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝.(8分)(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)故xR?xS＝(**)(11分)又点M与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.所以?＝?＝＝4为定值.(13分)方法二：设M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ湖南师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试试题 数学（理）.DOC
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