逍遥右脑 2014-09-09 12:42
13、（2013• 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．
其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC?BE=CD?DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+（a? ）2=4，
解得a= ，
则a2=2+ ，
S正方形ABCD=2+ ，
④说法正确，
故答案为①②④．
点评：本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
14、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324
分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD为中线，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中线，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD= = ，
即DE=BD= ，
故答案为： ．
点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．
15、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
16、(2013年广东湛江)如图，所有正三角形的一边平行于 轴，一顶点在 轴上．从内到外，它们的边长依次为 ，顶点依次用 表示，其中 与 轴、底边 与 、 与 、 均相距一个单位，则顶点 的坐标是 ， 的坐标是 ．
解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知， 的纵坐标为：
， ，而 的横坐标为： ，由题意知， 的纵坐标为 ， ，容易发现 、 、 、 、 、 这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， 、 、 、 、 、 的下标2、5、7、 、92、 有规律： ， 是第31个正三角形（从里往外）的右端点，
17、（2013福省福州19）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（?2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．
专题：．
分析：（1）由点A的坐标为（?2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（?2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案为2；y轴；120．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质．
18、（2013•湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．
考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．
分析：（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．
解答：（1）解：连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19、（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；
（2）当AC= 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC= 或AB=2AC．
解答：（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中， ，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．
（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或AB=2AC．
∴当AC= 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．
点评：此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．
20、（2013•衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结A，以A为边作等边△AN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结A，以A为边作等腰△AN，使顶角∠AN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析：（1）利用SAS可证明△BA≌△CAN，继而得出结论；
（2）也可以通过证明△BA≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠AN，从而判定△ABC∽△AN，得到 = ，根据∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，得到∠BA=∠CAN，从而判定△BA∽△CAN，得出结论．
解答：（1）证明：∵△ABC、△AN是等边三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，
∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AN是等边三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，
∴∠BA=∠CAN，
∵在△BA和△CAN中，
∴△BA≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，顶角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，
∴△ABC∽△AN，
∴ = ，
又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，
∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．