逍遥右脑 2014-06-07 12:49
32、（2013•咸宁）理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿C折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABC的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
考点：相似形综合题．
分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABC的边AB上的一个强相似点，
∴△AE∽△BCE∽△EC，
∴∠BCE=∠EC=∠AE．
由折叠可知：△EC≌△DC，
∴∠EC=∠DC，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ ．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．
33、（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2 ，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
分析：（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．
解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC= ；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴ = ，即可得：6x2=12，
解得：x= ，
则CF=3 ，
在Rt△CFD中，DF= = ，
∴BC=2DF=2 ．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
34、（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
分析：（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
点评：本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
35、(2013年江西省)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 (x>0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) ．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.
（2）如图，矩形ABCD向下平移后得到矩形 ，
设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）
∵点A′，点C′在y= 的图象上，
∴2(6－a)=6(4－a)，
解得a=3，
∴点A′（2，3），
∴反比例函数的解析式为y= ．
【考点解剖】 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式．
【解题思路】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C两点坐标代入y= 中，得到关于a、k的方程组从而求得k的值．
【方法规律】 把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐标求k，实际上也可把A、C两点坐标代入y= 中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值.
【关键词】 矩形 反比例函数 待定系数法
36、(2013年临沂)如图，矩形 中，∠ACB = ，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则 的值为 .
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转 （ ）角，如图2，求 的值；
(3)在（2）的基础上继续旋转，当 ，且使AP:PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论.
解析：（1） …………………………(2分)
（2）过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.…………………(3分)
∵在矩形ABCD中, ，∴PH∥BC.
又∵ ，∴
∴ ,
………………(5分)
由题意可知 ,
∴Rt△PHE∽Rt△PGF.
∴ …………(7分)
又∵点P在矩形ABCD对角线交点上，∴AP=PC.
∴ ………………(8分)
（3）变化 ……………………………………………………(9分)
证明：过点P作PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为H,G.
根据（2），同理可证 ………(10分)
又∵ ∴ ………………………(11分)