逍遥右脑 2014-05-29 12:09
22、（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．
考点：四边形综合题．
分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在 上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，
（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD为等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图4，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如图5，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
23、(2013年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。
(1) 根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形： △ADE与△ABC；
△GHO与△KFO； △NQP与△NQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 。(填写所有符合要求的序号)
(2) 如图，在锐角△ABC中，A<B<C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重
合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明
理由。
解析：
(1) ； (4分)
(2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。
第一种情况：如图，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、
PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。
第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CB=A，B交AC
于点。
当点P在A(不含点)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此
时△AP1Q与△ABC互为逆相似；
当点P在C上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，
CP2Q2=ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。
第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，
CD、CE分别交AC于点D、E。
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时
△AQP1与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，
BP2Q2=BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使BP3Q’=BCA，
此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)
24、（绵阳市2013年压轴题）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 S四边形BCGHS△AGH 的最大值。
解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心，
∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，ODAO = PDAC = 12 , ADAO = OD+OAOA= 1+22= 32 ,∴AOAD = 23 ；
（2）点O是是△ABC的重心。
证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证明可知 AQAD = 23 ，
而 AOAD = 23 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；
（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线O、ON，分别
与AC、AB交于点、N，
∵点O是△ABC的重心，
∴ OEBE = 13 ， OFCF = 13 ,
∵ 在△ABE中，O//AB，OAB = OEBE = 13 ，O = 13 AB，
在△ACF中，ON//AC，ONAC = OFCF = 13 ，ON = 13 AC，
在△AGH中，O//AH，OAG = OHGH ，
在△ACH中，ON//AH，ONAH = OGGH ，
∴ OAG + ONAH = OHGH +OGGH =1， 13ABAG + 13ACAH =1, ABAG + ACAH = 3 ,
令ABAG = , ACAH = n , =3-n,
∵ S四边形BCGHS△AGH = S△ABC-S△AGHS△AGH ,
S四边形BCGHS△AGH = 12AB•AC•sin∠BAC- 12 AG•AH•sin∠BAC 12 AG•AH•sin∠BAC =AB•AC-AG•AH AG•AH
= AB•ACAG•AH -1= n-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 32 )2 + 54 ,
∴ 当 ACAH = n = 32 ，GH//BC时， S四边形BCGHS△AGH 有最大值 54 。
附：BGAG + CHAH=1 或 ABAG + ACAH=3 的另外两种证明方法的作图。
方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。
方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、。
下面的图解也能说明问题：
来