2018九年级数学第27章相似全章节练习(人教版附答案)

逍遥右脑  2018-10-15 11:43

第二十七章 相似
27.1 图形的相似
01  基础题
知识点1 相似图形
1.下列各组图形相似的是(B)
 
知识点2 比例线段
2.(保定章末测试)下列各组中的四条线段成比例的是(A)
A.2 m,1 m,2 m,2 m 
B.3 m,2 cm,6 cm,4 m
C.1.5 m,2.5 m,4.5 m,5.5 m 
D.1 cm,7 cm,5 cm,3 cm
3.(唐山迁安中学月考)某市两旅游区之间的距离为105公里,在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上,它们之间的距离大约相当于(A)
A.一根火柴的长度
B.一支钢笔的长度
C.一支铅笔的长度
D.一根筷子的长度
4.(邯郸育华中学月考)如果ab=32,那么a+bb=52.
5.已知线段a,b,c,d成比例,且ab=cd,其中a=8 cm,b=4 cm,c=12 cm,则d=6cm.

知识点3 相似多边形
6.(邯郸育华中学月考)若如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是(C)[来源:学科网]
 
A.75°             B.60°                C.87°             D.120°
7.(莆田中考)下列四组图形中,一定相似的是(D)
A.正方形与矩形
B.正方形与菱形
C.菱形与菱形
D.正五边形与正五边形
8.(达县期中)如图,已知△ABC∽△DEC,∠D=45°,∠ACB=60°,AC=3 cm,BC=4 cm,CE=6 cm.求:
(1)∠B的度数;
(2)AD的长.
 
解:(1)∵△ABC∽△DEC,
∴∠A=∠D=45°.
在△ACB中,∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-45°-60°=75°.
(2)∵△ABC∽△DEC,
∴ACDC=BCEC,
即DC=AC•CEBC=92 cm.
∴AD=AC+CD=152 cm.


02  中档题
9.用一个10倍的放大镜看一个15°的角,看到的角的度数为(C)
A.150°              B.105°
C.15°               D.无法确定大小
10.观察下列图形,其中相似图形有(D)
 
A.1对              B.2对             C.3对        D.4对
11.(唐山迁安中学月考)如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴 影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是(C)
 
A.2 cm2                       B.4 cm2                               C.8 cm2                       D.16 cm2
12.(保定章末测试)要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50 cm,60 cm,80 cm,三角形框架乙的一边长为20 cm,那么,符合条件的三角形框架乙共有(C)
A.1种            B.2种                   C.3种            D.4种
13.如图所示的两个矩形相似吗?为什么?若相似,相似比是多少?满足什么条件的两个矩形一定相似?
 
解:∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠A′=∠B′=∠C′=∠D′=90°,AD=BC=10,AB=DC=8,A′B′=D′C′=4,A′D′=B′C′=5.
∴ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=DAD′A′=21.
∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似,相似比是2.
∴两个矩形只要满足长与宽的比相等就相似.

14.如图,G是正方形ABCD对角线AC上一点,作GE⊥AD,GF⊥AB,垂足分别为点E,F.求证:四边形AFGE与四边形ABCD相似.
 
证明:∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,
∴∠DAC=∠BAC=45°.
又∵GE⊥AD,GF⊥AB,
∴EG=FG,且AE=EG,AF=FG.
∴AE=EG=FG=AF.
又∵∠EAF=90°,
∴四边形AFGE为正方形.
∴AFAB=FGBC=GECD=AEAD,且∠EAF=∠DAB,∠AFG=∠ABC,∠FGE=∠BCD,∠AEG=∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似.


03  综合题
15.如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.
(1)求AD的长;
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
 
解:(1)设AD=x(x>0),则DM=x2.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,
∴ADAB=DCDM,
即x4=4x2.解得x=42(舍负).
∴AD的长为42.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
DCAD=442=22.

 
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
01  基础题
知识点1 相似三角形的有关概念
1.如图所示,△ADE∽△ACB,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是(A)
 
A.ADAC=AEAB=DEBC                       B.ADAB=AEAC
C.ADAE=ACAB=DEBC                      D.AEEC=DEBC
2.如果△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′的相似比为2,那么△A′B′C′与△ABC的相似比为12.

知识点2 平行线分线段成比例定理
3.(杭州中考)如图,已知直线a∥b∥c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F,若ABBC=12,则DEEF=(B)
A.13             B.12                     C.23              D.1
 
4.(杭州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则(B)
A.ADAB=12                 B.AEEC=12
C.ADEC=12                 D.DEBC=12
  
5.(济宁中考)如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么BCCE的值等于35.
 
6.如图,EG∥BC,GF∥CD,AE=3,EB=2,AF=6,求AD的值.
 
解:∵EG∥BC,∴AEEB=AGGC.
又∵GF∥DC,∴AGGC=AFFD.
∴AEEB=AFFD,即32=6FD.
∴FD=4.
∴AD=AF+FD=10.

 

知识点3 相似三角形判定的预备定理
7.(南京中考)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为83.
 
8.(厦门中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD=2,DB=3,则DEBC=25.
   
9.(唐山迁安中学月考)如图,在▱ABCD中,E为AB延长线上一点,AB=3BE,DE与BC相交于点F,请找出图中各对相似三角形及其相似比.
 
解:根据平行四边形性质得出DC∥AB,AD∥BC,
由DC∥AB,得△DFC∽△EFB.
由AB=3BE,AB=CD,得BECD=13.
由AD∥BC,得△BFE∽△ADE,△DFC∽△EDA.
由AB=3BE,得CDAE=34.
02  中档题
10.(唐山玉田县期末)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是(C)
A.1对             B.2对              C.3对            D.4对
提示:△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,△ADE∽△EFC.
 
11.(天津中考)如图,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于(D)
A.3∶2              B.3∶1 
C.1∶1              D.1∶2
   
12.已知△OAC∽△OBD,且OA=4,AC=2,OB=2,∠C=∠D,求:
(1)△OAC与△OBD的相似比;
(2)BD的长.
 
解:(1)∵△OAC∽△OBD,∠C=∠D,
∴线段OA与线段OB是对应边.
∴△OAC与△OBD的相似比为OAOB=42=21.
(2)∵△OAC∽△OBD,
∴ACBD=OAOB.
∴BD=OB•ACOA=2×24=1.


13.小明正在攀登一个如图所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
 
解:∵DE∥BC,
∴△ABC∽△ADE.
∴ADAB=DEBC,
即ADAD+8=1018.[来源:学科网]
∴AD=10.
答:小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
03  综合题
14.如图,AD∥EG∥BC,EG分别交AB,DB,AC于点E,F,G,已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,FG的长.
 
解:∵在△ABC中,EG∥BC,
∴△AEG∽△ABC.
∴EGBC=AEAB.
∴EG10=35.∴EG=6.
∵在△BAD中,EF∥AD,
∴△BEF∽△BAD.∴EFAD=BEAB.
∴EF6=5-35.∴EF=125.
∴FG=EG-EF=185.

 

 

 

 
第2课时 相似三角形的判定定理1,2
01  基础题
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,2,5,乙三角形木框的三边长分别为5,5,10,则甲、乙两个三角形(A)
A.一定相似                B.一定不相似
C.不一定相似              D.无法判断
2.(唐山玉田县期末)已知△ABC的三边长分别为2,6,2,△A′B′C′的两边长分别是1和3,如果△ABC∽△A′B′C′,那么△A′B′C′的第三边长应该为(A)
A.2                  B.22            C.62                 D.33
3.(石家庄模拟)下列三个三角形中相似的是(B)
 
A.A与B                 B.A与C
C.B与C                 D.A,B,C都相似
4.如图,在△ABC中,AB=25,BC=40,AC=20.在△ADE中,AE=12,AD=15,DE=24,试判断这两个三角形是否相似,并说明理由.
 [来源:学科网]
解:相似.
理由:∵ACAE=2018年=53,ABAD=2515=53,
BCDE=4024=53,
∴ACAE=ABAD=BCDE.
∴△ABC∽△ADE.

知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5.(保定莲池区期末)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是(D)
 
A.5           B.8.2                 C.6.4           D.1.8

6.如图,已知△ABC,则下列4个三角形中,与△ABC相似的是(C)
  
7.如图,已知:AB•AD=AC•AE,∠B=30°,则∠E=30°.
 
8.根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由.
∠B=50°,AB=2,BC=3,∠B′=50°,A′B′=12,B′C′=18.
解:相似.理由:
∵ABA′B′=212=16,BCB′C′=318=16,
∴ABA′B′=BCB′C′.
∵∠B=∠B′,
∴△ABC∽△A′B′C′.


02  中档题
9.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(A)
 
10.如图,在等边△ABC中,D、E分别在AC、AB上,且AD∶AC=1∶3,AE=BE,则有(B)
 
A.△AED∽△BED 
B.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABD 
D.△BAD∽△BCD
11.一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则下列截法:①将30 cm截出5 cm和25 cm;②将50 cm截出10 cm和25 cm;③将50 cm截出12 cm和36 cm;④将50 cm截出20 cm和30 cm.其中正确的有(B)
A.1个              B.2个 
C.3个              D.4个
12.(唐山迁安中学月考)如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似,则AE=16或9.
 
13.(石家庄四十二中章末测试)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?
解:△ABC∽△EDF相似.理由如下:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,
根据勾股,得AC=AB2-BC2=102-62=8.
在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,
根据勾股,得ED=DF2+EF2=32+42=5.
在Rt△ABC和Rt△EDF中,BCDF=63=2,ACEF=84=2,ABED=105=2,
∴BCDF=ACEF=ABED.
∴△ABC∽△EDF.


14.(杭州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且ADAC=DFCG.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若ADAC=12,求AFFG的值.
 
解:(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC,
∴∠ADF=∠C.
又∵ADAC=DFCG,
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,
∴ADAC=AFAG=12.
∴AFFG=1.


03  综合题
15.(武汉中考改编)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.若以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,求t的值.
 
解:由题意,得BP=5t,QC=4t,AB=AC2+BC2=10 cm.
①当△BPQ∽△BAC时,
则BPBA=BQBC,
∴5t10=8-4t8.解得t=1;
②当△BPQ∽△BCA时,则BPBC=BQBA,
∴5t8=8-4t10.解得t=3241.
综上所述,当t=1或3241时,以B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.

 
第3课时 相似三角形的判定定理3
01  基础题
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1.有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)
A.全等                       B.相似 
C.既全等又相似               D.无法确定
2.(唐山迁安中学月考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有(C)
A.1对                     B.2对
C.3对                     D.4对
 
3.(石家庄四十二中章末测试)在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是(D)
A.∠A=∠C′               B.∠A=∠A′
C.ABBC=A′B′B′C′                 D.ABAC=A′B′A′C′
4.如图,锐角△ABC的边AB,AC上的高线CE,BF相交于点D,请写出图中的一对相似三角形答案不唯一,如△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE等.(用相似符号连接)
   
5.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD,△HGK.
 
6.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.
 
证明:∵ 矩形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAF=∠AED.
∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.
∴∠AFB=∠D=90°.
∴△ABF∽△EAD.

知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
7.(保定期中)下列命题不一定成立的是(C)
A.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
B.两个等腰直角三角形相似
C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D.各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似
8.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)
A.∠B=∠B1               B.ABA1B1=ACA1C1
C.ABA1B1=BCB1C1               D.ABB1C1=ACA1C1
9.在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=12,AB=15,A′C′=8,则当A′B′=10时,△ABC∽△A′B′C′.

02  中档题
10.(河北中考)如图,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD,NF⊥AB.若NF=NM=2,ME=3,则AN=(B)
A.3             B.4                  C.5             D.6
 
11.(毕节中考)如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4,则DC的长等于(A)
A.154              B.125          C.203              D.174
   
12.一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似.
 
13.(娄底中考)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是答案不唯一,如AB∥DE.(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)
14.如图,已知∠C=∠ABD=90°,AB=6,AC=2,求AD的长为多少时,图中两直角三角形相似?
 
解:①若△ABC∽△ADB,
则ABAD=ACAB.
∴6AD=26.∴AD=3.
②若△ABC∽△DAB,
则ABAD=BCAB.∴6AD=6-46.
∴AD=32.
综上所述,当AD=3或32时,图中两直角三角形相似.

15.(滨州中考改编)如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,点P为AB边上一动点,DP交AC于点Q.
(1)求证:△APQ∽△CDQ;
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动,移动时间为t秒.当t为何值时,DP⊥AC?
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.∴∠APQ=∠CDQ.
又∵∠AQP=∠CQD.
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t=5时,DP⊥AC.
理由:∵t=5,∴AP=5.∴APAD=510.
又∵DADC=1020,∴APAD=DADC.
又∵∠PAD=∠ADC=90°,∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP=∠DCA.
∵∠ADP+∠CDP=∠ADC=90°,
∴∠DCA+∠CDP=90°.
∴∠DQC=90°,即DP⊥AC.

03  综合题
16.(河北模拟)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=63,AE=6,求AF的长.
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180°.
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵CD=AB=8,AE⊥BC,∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中,DE=(63)2+62=12.
∵△ADF∽△DEC,∴ADDE=AFCD.
∴6312=AF8,解得AF =43.
 
小专题(三)  相似三角形的基本模型
下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习,帮助同学们认识相似三角形的基本模型,并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形,进而解决问题.
模型1 X字型及其变形
(1)如图1,对顶角的对边平行,则△ABO∽△DCO;
(2)如图2,对顶角的对边不平行,且∠OAB=∠OCD,则△ABO∽△CDO.
 
 
1.(滨州中考)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则CFCD=13.
 
2.如图,已知∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF=2,求DF的长.
 
解:∵∠ADE=∠ACB,
∴180°-∠ADE=180°-∠ACB,
即∠BDF=∠ECF.
又∵∠BFD=∠EFC,
∴△BDF∽△ECF.
∴BDCE=DFCF,即84=DF2.
∴DF =4.

模型2 A字型及其变形
(1)如图1,公共角所对应的边平行,则△ADE∽△ABC;
(2)如图2,公共角的对边不平行,且有另一对角相等,则△ADE∽△ABC;
(3)如图3,公共角的对边不平行,两个三角形有一条公共边,且有另一对角相等,则△ACD∽△ABC.
 
 
3.(潍坊中考)如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:答案不唯一,如:∠A=∠BDF,∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠EDA=∠BFD,DF∥AC,BDAE=BFED,BDDE=BFAE等,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
 
4.(福州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=5-12,在AC边上截取AD=BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC•CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
 
解:(1)∵AD=BC=5-12,
∴AD2=(5-12)2=3-52.
∵AC=1,
∴CD=1-5-12=3-52.
∴AD2=AC•CD.
(2)∵AD2=AC•CD,
∴BC2=AC•CD,即BCAC=CDBC.
又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.
∴ABBD=ACBC.
又∵AB=AC,∴BD=BC=AD.
∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.
设∠A=∠ABD=x,
则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴∠ABD=36°.


模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似,即△ACD∽△ABC∽△CBD.
 
 
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为(C)
 
A.3 
B.4 
C.5 
D.6
6.如图,在Rt△ABC中,CD⊥AB,D为垂足,且AD=3,AC=35,则斜边AB的长为(B)
A.36               B.15
C.95               D.3+35
 
7.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,AD=9,BD=4,那么CD=6,AC=313.
   
模型4 M字型及其变形
(1)如图1,Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直,则有△ABD∽△CEB;
(2)如图2,点B,C,E在同一条直线上,∠ABC=∠ACD,则再已知一组条件,可得△ABC与△DCE相似.
 
 
8.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,求AB的长.
 
解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
∴∠ACB+∠A=90°.
∵AC⊥CE,
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠A=∠ECD.
∴△ABC∽△CDE.
∴ABCD=BCDE.
又∵C是线段BD的中点,ED=1,BD=4,
∴BC=CD=2.
∴AB=4.

9.如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,求BG的长.
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A=∠D=90°.
∴∠ABE+∠AEB=90°.
∵∠BEF=90°,
∴∠AEB+∠DEF=90°.
∴∠ABE=∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.[来源:学|科|网]
(2)∵AB=AD=4,E为AD的中点,
∴AE=DE=2.
由(1)知,△ABE∽△DEF,[来源:Z_xx_k.Com]
∴ABDE=AEDF,即42=2DF.
∴DF=1.∴CF=3.
∵ED∥CG,
∴△EDF∽△GCF.
∴EDCG=DFCF,即2GC=13.
∴GC=6.
∴BG=BC+GC=10.
 
27.2.2 相似三角形的性质
01  基础题
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1.(重庆中考A卷)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(A)
A.3∶2               B.3∶5
C.9∶4               D.4∶9
2.(兰州中考)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为34,则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)
A.34                  B.43                   C.916                 D.169
3.若两个三角形相似,相似比为8∶9,则它们对应角平分线之比是8∶9,若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm,则另一个三角形对应角平分线长为274_cm.
4.已知△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线,C′D′是A′B′边上的中线,CD=4 cm,C′D′=10 cm,AE是△ABC的一条高,AE=4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长.
解:∵△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线,C′D′是A′B′边上的中线,且AE,A′E′是对应的高,
∴AEA′E′=CDC′D′.
∴4.8A′E′=410.
∴A′E′=12 cm.


知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
5.(重庆中考)△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为(C)
A.1∶2               B.1∶3
C.1∶4               D.1∶16
6.若两个相似三角形的周长的比为4∶5,且周长之和为45,则这两个三角形的周长分别为20,25.
7.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm,且BC=5 cm,DF=4 cm,求EF和AC的长.
解:∵相似三角形周长的比等于相似比,
∴EFBC=2520.
∴EF=54BC=54×5=254(cm).
同理ACDF=2025,
∴AC=45DF=45×4=165(cm).
∴EF的长是254 cm,AC的长是165 cm.


知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
8.(唐山玉田县期末)△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC和△DEF的面积比为(D)
A.1∶3                  B.3∶1
C.9∶1                    D.1∶9
9.(铜仁中考)如图,在▱ABCD中,点 E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)
A.3∶4                    B.9∶16 
C.9∶1                    D.3∶1
 
10.(巴中中考)如图,点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为(B)
A.1∶2                  B.1∶3
C.1∶4                  D.1∶1
   
11.已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3,则△ABC与△DEF的面积比为4∶9.

02  中档题
12.(连云港中考)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是(D)
A.BCDF=12                          B.∠A的度数∠D的度数=12
C.△ABC的面积△DEF的面积=12               D.△ABC的周长△DEF的周长=12
 
13.(湘西中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为(D)
A.3                   B.5                  C.6                   D.8
  
14.(衡阳中考)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16,则△ABC与△DEF的周长之比为5∶4.
 
15.(金华中考)如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E和C,F.若BC=2,则EF的长是5.
16.(凉山中考)在▱ABCD中,M,N是AD边上的三等分点,连接BD,MC相交于O点,则S△MOD∶S△COB=19或49.
17.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
 
解:(1)证明:∵DC=AC,CF平分∠ACB,
∴AF=DF.
又∵点E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线.
∴EF∥BD,即EF∥BC.
(2)由(1)知,EF∥BD,∴△AEF∽△ABD.
∴S△AEFS△ABD=(AEAB)2.
又∵点E是AB的中点,∴AEAB=12.
∴S△AEFS△ABD=14.∴S△AEF=14S△ABD.
∴S△ABD-6=14S△ABD.∴S△ABD=8.

03  综合题
18.(怀化中考)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E,H分别在AB,AC上,已知BC=40 cm,AD=30 cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
 
解:(1)证明:∵四边形EFGH是正方形,
∴EH∥BC.
∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH相交于点M.
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,
∴四边形EFDM是矩形.
∴EF=DM.
设正方形EFGH的边长为x.
∵△AEH∽△ABC,
∴EHBC=AMAD.
∴x40=30-x30.∴x=1207.
∴正方形EFGH的边长为1207 cm,面积为14 40049 cm2.
 
小专题(四) 相似三角形的判定与性质
1.(河北中考)如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是(D)
A.AE>BE                  B.AD?=BC?
C.∠D=12∠AEC            D.△ADE∽△CBE
 
2.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使△ABC∽△CAD,只要CD等于(A)
A.b2c                 B.b2a                  C.abc               D.a2c
  
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,如果添加下列条件,不能使得△ABC∽△DCA成立的是(D)
A.∠BAC=∠ADC                  B.∠B=∠ACD 
C.AC2=AD•BC                     D.DCAC=ABBC
 
4.(邯郸育华中学月考)如图,在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸,算算看画面中由实线组成的相似三角形有(C)
A.4对             B.3对          C.2对         D.1对
  
提示:△ABC∽△FGE,△HIJ∽△HKL.
5.如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有3对.
提示:△BCP∽△PCF,△DAP∽△DPG,△APG∽△BFP.
 
6.(河池中考)如图,菱形ABCD的边长为1,直线l过点C,交AB的延长线于点M,交AD的延长线于N,则1AM +1AN=1.
  
7.(保定高阳章末测试)如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长.
 
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∴∠BAD+∠ADB=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°.
∴∠DAB=∠EDC.
又∵∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC.
∴CD=BC-BD=AB-3.
∵△ABD∽△DCE,
∴ABCD=BDCE,
即ABAB-3=32.解得AB=9.

8.(邯郸育华中学月考)如图所示,已知▱ABCD中,AE∶EB=1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长之比;
(2)如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF.
 
解:(1)∵AE∶EB=1∶2,
∴AE∶AB=1∶3.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.
∴AE∶CD=AE∶AB=1∶3.
∵AB∥CD,
∴△AEF∽△CDF.
∴△AEF的周长∶△CDF的周长=1∶3.
(2)∵△AEF∽△CDF,
∴S△AEF∶S△CDF=1∶9.
又∵S△AEF=6,
∴S△CDF=6×9=54(cm2).
9.如图,在△ABC中,AB=AD,DC=BD,DE⊥BC,DE交AC于点E,BE交AD于点F.求证:
(1)△BDF∽△CBA;
(2)AF=DF.
 
证明:(1)∵BD=DC,
DE⊥BC,
∴EB=EC.
∴∠EBD=∠C.
∵AB=AD,
∴∠ADB=∠ABC.
∴△BDF∽△CBA.
(2)由(1)知,△BDF∽△CBA,
∴FDAB=BDCB.
∵AB=AD,BD=12BC,
∴FDAD=12BCCB=12.
∴AF=DF.

10.(衢州中考)如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD,作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F,已知CE=12,BE=9.
(1)求证:△COD∽△CBE;
(2)求半圆O的半径r的长.
 
解:(1)证明:∵CD切半圆于点D,OD为⊙O的半径,
∴CD⊥OD.∴∠CDO=90°.
∵BE⊥CD,
∴∠E=90°.
∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,
∴△CDO∽△CEB.
(2)∵在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,
∴CB=15.
∵△CDO∽△CEB.
∴ODEB=COCB,即r9=15-r15.
∴r=458.

11.(淄博中考)如图,在△ABC中,点P是BC边上任意一点(点P与点B,C不重合),▱AFPE的顶点F,E分别在AB,AC上.已知BC=2,S△ABC=1.设BP=x,▱AFPE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)上述函数有最大值或最小值吗?若有,则当x取何值时,y有这样的值,并求出该值;若没有,请说明理由.
 
解:(1)∵四边形AFPE是平行四边形,
∴PF∥CA.
∴△BFP∽△BAC.
∴S△BFPS△BAC=(BPBC)2=(x2)2.
∵S△ABC=1,∴S△BFP=x24.
同理S△PEC=(2-x2)2=x2-4x+44.
∴y=1-x24-x2-4x+44.
∴y=-x22+x.
(2)y=-x22+x=-12(x-1)2+12.
当x=1时,y有最大值,最大值为12.

12.(菏泽中考)正方形ABCD的边长为6 cm,点E、M分别是线段BD、AD上的动点,连接AE并延长,交边BC于F,过M作MN⊥AF,垂足为H,交边AB于点N.
 
(1)如图1,若点M与点D重合,求证:AF=MN;
(2)如图2,若点M从点D出发,以1 cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以2 cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为t s.
①设BF=y cm,求y关于t的函数表达式;
②当BN=2AN时,连接FN,求FN的长.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°.
∵MN⊥AF,∴∠NAH+∠ANH=90°.
∵∠NDA+∠ANH=90°,
∴∠NAH=∠NDA.
∴△ABF≌△DAN.
∴AF=DN.
∴AF=MN.
(2)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BF.
∴∠ADE=∠FBE.
∵∠AED=∠BEF,∴△EBF∽△EDA.
∴BFAD=BEED.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=CB=6.
∴BD=62.
由题意得,BE=2t,则DE=62-2t.
∴y6=2t62-2t,即y=6t6-t.
②∵四边形ABCD是正方形,
∴∠MAN=∠FBA=90°.
∵MN⊥AF,∴∠NAH+∠ANH=90°.
∵∠NMA+∠ANH=90°,
∴∠NAH=∠NMA.
∴△ABF∽△MAN.
∴ANAM=BFAB.
∵BN=2AN,AB=6,∴AN=2.
∴26-t=6t6-t 6 .解得t=2.
 
周周练 (27.1~27.2)
(时间:40分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(保定高阳月考)下面图形中,形状相同的一组是(D)
 
2.(x疆生产建设兵团)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是(D)
 
A.DE=12BC
B.ADAB=AEAC
C.△ADE∽△ABC
 D.S△ADE∶S△ABC=1∶2
3.(河北中考)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.
乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是(A)
 
A.两人都对                     B.两人都不对
C.甲对,乙不对                 D.甲不对,乙对
4.(安徽中考)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为(B)
A.4               B.42               C.6             D.43
 
5.如图,已知:DE∥AC,DF∥AB,则下列比例式中正确的是(B)
A.AEEB=BDDC              B.DFAB=DCBC
C.AEAB=AFAC              D.BDDC=FCAF
   
6.(巴彦淖尔中考)如图,P为▱ABCD的边AD上的一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=3,则S1+S2的值为(B)
A.24                 B.12           C.6                D.3
 
7.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=14CD,下列结论:①∠BAE=30°;②△ABE∽△AEF;③AE⊥EF;④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为(B)
A.1              B.2             C.3              D.4
   
8.(台湾中考)如图,矩形ABCD中,E点在CD上,且AE<AC.若P、Q两点分别在AD、AE上,AP∶PD=4∶1,AQ∶QE=4∶1,直线PQ交AC于R点,且Q、R两点到CD的距离分别为q、r,则下列关系正确的是(D)
 
A.q<r,QE=RC
B.q<r,QE<RC
C.q=r,QE=RC
D.q=r,QE<RC

二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,若△ABC∽△DEF,则∠D的度数为30°.
 
10.(邢台临城县一模)已知c4=b5=a6≠0,则b+ca的值为32.
11.(临沂中考)如图,已知AB∥CD,AD与BC相交于点O.若BOOC=23,AD=10,则AO=4.
   
12.在长8 cm,宽6 cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形面积是27cm2.
13.如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连接CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②CE=OE;③△ODE∽△ADO;④2CD2=CE•AB.其中正确结论的序号是①④.
 
14.如图,正五边形的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点M,N,则MN=3-5.
   
三、解答题(共44分)
15.(10分)如图,在△ABC中,D为AC边上一点,∠DBC=∠A.
(1)求证:△BDC∽△ABC;
(2)如果BC=6,AC=3,求CD的长.
 
解:(1)证明:∵∠DBC=∠A,∠C=∠C,
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC,
∴BCAC=CDBC.
∴63=CD6.∴CD=2.

16.(10分)(白银、张掖中考)如图,已知EC∥AB,∠EDA=∠ABF.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)求证:OA2=OE•OF.
 
证明:(1)∵EC∥AB,
∴∠C=∠ABF.
∵∠EDA=∠ABF,
∴∠C=∠EDA.
∴DA∥CF.
∵EC∥AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)∵DA∥CF,∴△OBF∽△ODA.∴OAOF=ODOB.
∵EC∥AB,∴△OAB∽△OED.∴OEOA=ODOB.
∴OAOF=OEOA,
即OA2=OE•OF.

17.(12分)(秦皇岛海港区月考)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且ADCD=CDBD.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小;
(3)若AD=3,BD=2,求BC的长.
 
解:(1)证明:∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
又∵ADCD=CDBD,
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD,
∴∠A=∠BCD.
在△ACD中,∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.
(3)∵ADCD=CDBD,
∴CD2=AD•BD=6,即CD=6.
∴BC=BD2+CD2=10.

18.(12分)(六盘水中考)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连接OD.
 
(1)求证:△ADO∽△ACB;
(2)若⊙O的半径为1,求证:AC=AD•BC.
解:(1)证明:∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB.
∴∠ADO=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠ADO.
又∵∠A=∠A,
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)知:△ADO∽△ACB,
∴ADAC=ODBC.
∴AD•BC=AC•OD.
又∵OD=1,
∴AC=AD•BC.
 
27.2.3 相似三角形应用举例
01  基础题
知识点1 测量物高
1.(邯郸育华中学月考)如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为(C)
A.815                  B.1          C.43             D.85
 
2.如图,某一时刻,测得旗杆的影长为8 m,李明测得小芳的影长为1 m,已知小芳的身高为1.5 m,则旗杆的高度是12m.
 
3.(保定莲池区期末)如图,小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB=12 m,则旗杆AB的高为9m.
 
4.如图,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好达到墙的顶端,则墙CD的高为7.5米.
  
5.如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米.那么该古城墙CD的高度是多少米?
 
解:∵∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,
∴△ABP∽△CDP.
∴ABCD=BPDP,即1.4CD=2.112.解得CD=8.
答:该古城墙CD的高度是8米.

知识点2 测量距离
6.(北京中考)如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于(B)
A.60 m                B.40 m                 C.30 m               D.20 m
 
7.(秦皇岛海港区月考)如图所示,AB是斜靠在墙壁上的一个梯子,梯子下端B点到墙脚C的距离为1.4 m,梯子上点D距离墙壁1.2 m,梯子每级之间的距离(如BD )为0.5 m,则这个梯子的长度是(A)
A.3.5 m                     B.3.85 m
C.4 m                      D.4.2 m
  
8.(邯郸育华中学月考)如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连接AC,BC,在AC上取点M,使AM=3MC,作MN∥AB交BC于N,量得MN=38 m,则AB的长为152_m.
 
9.如图,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=2.5_mm.
   
10.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔60米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为30米.
 
02  中档题
11.(柳州中考)小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图),然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为(A)
A.10米               B.12米 
C.15米               D.22.5米
 
12.如图,一油桶高0.8 m,桶内有油,一根木棒长1 m,从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端到小口,抽出木棒,量得棒上浸油部分长0.8 m,则桶内油的高度为0.64_m.
   
13.(秦皇岛海港区月考)如图是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的端点A时,杠杆绕C点转动,另一端点B向上翘起,石头就被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的端点A向下压多少厘米呢?
 
解:如图:AM、BN都与水平线垂直,即AM∥BN.
易知:△ACM∽△BCN.
∴ACBC=AMBN.
∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,
∴AMBN=51,即AM=5BN.
∴当BN≥10 cm时,AM≥50 cm.
故要使这块石头滚动,至少要将杠杆的端点A向下压50 cm.

14.(菏泽中考)如图,M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政策,政府决定打一直线涵洞,工程人员为计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.
 
解:连接MN.
∵ACAM=301 000=3100,ABAN=541 800=3100,∴ACAM=ABAN.
又∵∠BAC=∠NAM,
∴△BAC∽△NAM.
∴BCMN=3100,
即45MN=3100.∴MN=1 500.
答:M,N两点之间的直线距离为1 500米.

03  综合题
15.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计)
 
解:过点C作CM∥AB,分别交EF,AD于N,M,作CP⊥AD,分别交EF,AD于Q,P.
由题意,得四边形ABCM,EBCN是平行四边形,
∴EN=AM=BC=20 cm.
∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).
由题意知CP=40 cm,PQ=8 cm,
∴CQ=32 cm.
∵EF∥AD,∴△CNF∽△CMD.
∴NFMD=CQCP,即NF30=3240.
∴NF=24 cm.
∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).
答:横梁EF应为44 cm.
 
27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
01  基础题
知识点1 位似图形
1.下列关于位似图形的表述:
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;
②位似图形一定有位似中心;
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比.
其中正确命题的序号是(A)
A.②③                  B.①②
C.③④                  D.②③④
2.(呼伦贝尔中考)视力表的一部分如图,其中开口向上的两个“E ”之间的变换是(D)
 
A.平移 
B.旋转 
C.对称 
D.位似
3.两个位似图形中,对应点到位似中心的距离之比为2∶3,则这两个图形的相似比为(A)
A.2∶3                          B.4∶9
C.2∶3                         D.1∶2
4.(邯郸育华中学月考)如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于(A)
A.6                 B.5              C.9                D.83
 
5.如图,两个三角形是位似图形,它们的位似中心是(A)
A.点P                  B.点O                 C.点M                 D.点N
  
6.已知:△ABC∽△A′B′C′,下列图形中,△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)
 
7.(成都中考)如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA′=2∶3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A.4∶9                        B.2∶5
C.2∶3                        D.2∶3
 
8.(石家庄一模)如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的个数是(C)
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2;
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
A.1              B.2        C.3           D.4
 
知识点2 位似图形的画法
9.如图,以O为位似中心,将四边形ABCD缩小为原来的一半.
 
解:图略.

02  中档题
10.如图,已知BC∥DE,则下列说法中不正确的是(D)
 
A.两个三角形是位似图形
B.点A是两个三角形的位似中心
C.∠ADE=∠B
D.点B与点E,点C与点D是对应点
11.如图,四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形,且AC∶AF=2∶3,则下列结论不正确的是(B)
A.四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B.AD与AE的比是2∶3
C.四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D.四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
 
12.(济宁中考)如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm,且幻灯片中图形的高度为6 cm,则屏幕上图形的高度为18_cm.
  
13.(钦州中考)如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变化后得正方形OA1B1C1,其边长OA1缩小为OA的12,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA1的12,经第三次变化后得正方形OA3B3C3,其边长OA3缩小为OA2的12,…,依此规律,经第n次变化后,所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数,则n=16.
 
14.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且相似比是1∶2,若AB=2  cm,则A′B′=4cm,并在图中画出位似中心O.
 
解:如图所示.

15.如图,已知△DEO与△ABO是位似图形, △OEF与△OBC是位似图形,求证:OD•OC=OF•OA.
证明:∵△DEO与△ABO位似,
 
∴ODOA=OEOB.
∵△OEF与△OBC位似,
∴OEOB=OFOC.
∴ODOA=OFOC.
∴OD•OC=OF•OA.

 

03  综合题
16.(唐山路南中学期末)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到△A1B1C1;
(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.
 
解:如图.


 
第2课时 平面直角坐标系中的位似
01  基础题
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1.(唐山玉田县期末)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD,则端点D的坐标为(B)
A.(3,3)                   B.(4,1)
C.(3,1)                   D.(4,3)
 
2.如图,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大到原来的2倍,得到△OA′B′.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(C)
A.(2,4)                  B.(-1,-2)
C.(-2,-4)              D.(-2,-1)
   
3.(卢龙模拟)如图,将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上),它们是以P点为位似中心的位似图形,则P点的坐标是(A)
A.(-4,-3)               B.(-3,-3)
C.(-4,-4)               D.(-3,-4)
 
4.(东营中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为13,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是(D)
A.(-1,2)                        B.(-9,18)
C.(-9,18)或(9,-18)             D.(-1,2)或(1,-2)
   
5.(长沙中考)如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的12,可以得到△A′B′O,已知点B′的坐标是(3,0),则点A′的坐标是(1,2).
 
知识点2 坐标系内图形的位似作图
6.如图,在直角坐标系中,作出五边形ABCDE的位似图形,使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1,位似中心是坐标原点O.
 
解:如图所示.
7.(眉山中考)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1;
(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1,并直接写出点A2的坐标.
 
解:(1)如图.
(2)如图,A2(-2,-2).

02  中档题
8.(保定高阳章末测试)如图,“小鱼”与“大鱼”是位似图形,已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为(a,b),那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为(C)
 
A.(-a,-2b)                B.(-2a,-b)
C.(-2a,-2b)               D.(-2b,-2a)
9.(保定莲池区月考)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14,那么点B′的坐标是(D)
A.(-2,3)                     B.(2,-3)
C.(3,-2)或(-2,3)            D.(-2,3)或(2,-3)
 
10.如图,原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心,点A(1,0)与A′(-2,0)是对应点,△ABC的面积是32,则△A′B′C′的面积是6.
   
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题:
①若点A(2.5,3),则A′的坐标为(5,6);
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2;
(2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)
 
解:∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2,
∴S△ABCS△A′B′C′=14.
∵△ABC的面积为m,
∴△A′B′C′的面积为4m.

12.如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B′的横坐标是a,求点B的横坐标.
 
解:过B′作B′F⊥x轴于点F,过B作BE⊥x轴于点E,则∠BEC=∠B′FC=90°.
又∵∠BCE=∠B′CF,
∴△BEC∽△B′FC.
∴ECFC=BCB′C.
∵△ABC∽△A′B′C,且相似比 为12,
∴BCB′C=ECFC=12.
∵点B′的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0),
∴FO=a,CO=1.∴FC=a+1.
∴EC=12(a+1).
∴点B的横坐标是:-12(a+1)-1=-12(a+3).

03  综合题
13.如图,在直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(7,1),B(8,2),C(9,0).
(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧);
(2)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式.
 
解:(1)如图所示.
(2)作BD⊥x轴,B′E⊥x轴,垂直分别是D,E点,
∴B′E∥BD.
∴△B′EP∽△BDP.∴B′EBD=PEPD=PB′PB.
∵B(8,2),P(12,0),∴OD=8,BD=2,OP=12.
∴PD=OP-OD=12-8=4.
∵△A′B′C′与△ABC的相似比为3,
∴PB′PB=3.∴B′E2=PE4=3.
∴B′E=6,PE=12.
∵PO=12,∴E与O点重合,线段B′E在y轴上.
∴B′点坐标为(0,6).
同理PC′∶PC=3∶1,
又∵PC=OP-OC=12-9=3,∴PC′=9.
∴OC′=12-9=3.∴C′点坐标为(3,0).
设线段B′C′所在直线的解析式为y=kx+b,则
6=b,0=3k+b,解得k=-2,b=6.
∴线段B′C′所在直线的解析式为y=-2x+6.


 
章末复习(二) 相似
01  基础题
知识点1 图形的相似
1.(邯郸育华中学月考)如图,两个等 边三角形, 两个矩形,两个正方形,两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是(B)
 
2.如图,四边形ABCD∽四边形GFEH,且∠A=∠G=70°,∠B=60°,∠E=120°,DC=24,HE=18,HG=21,则∠F=60°,∠D=110°,AD=28.
 
知识点2 平行线分线段成比例
3.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是(A)
A.CECB=DFDA                B.ADDF=CEBC
C.CDEF=ADAF                D.CEBE=AFAD
 
4.(南皮模拟)如图,已知DE∥BC,EF∥AB,若AD=2BD,则CFBF的值为(A)
A.12           B.13         C.14              D.23
  
知识点3 相似三角形的性质与判定
5.(自贡中考)如图,在△ABC中,MN∥BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=1,MB=2,BC=3,则MN的长为1.
 
6.(邯郸育华中学月考)如图,已知△ABC中,CE⊥AB于E,BF⊥AC于F.
(1)求证:△AFE∽△ABC;
(2)若∠A=60°时,求△AFE与△ABC面积之比.
 
解:(1)证明:∵∠AFB=∠AEC=90°,∠A=∠A,
∴△AFB∽△AEC.
∴AFAE=ABAC.∴AFAB=AEAC.
又∵∠A=∠A,∴△AFE∽△ABC.
(2)∵∠A=60°,∠AEC=90°,∴∠ACE=30°.
∴AE=12AC.∵△AFE∽△ABC.
∴S△AFES△ABC=(AEAC)2=(12)2=14.

 

知识点4 相似三角形的应用
7.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图所示,已知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,则旗杆AB的高度为13.5m.
 
知识点5 位似
8.(滨州中考)在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为(4,6)或(-4,-6).


02  中档题
9.(长沙中考)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点M重合(M不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G,设正方形ABCD的周长为m,△CMG的周长为n,则nm的值为(B)
 
A.22            B.12                 C.5-12             D.随H点位置的变化而变化
10.(枣庄中考)如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=62+3.(结果保留根号)
 
11.(河北中考)如图,在6×8网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC位似,且相似比为1∶2;
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.(结果保留根号)
 
解:(1)如图所示.
(2)AA′=CC′=2.
在Rt△OA′C′中,
OA′=OC′=2,得A′C′=22.
同理可得AC=42,
∴四边形AA′C′C的周长为4+62.

12.如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=260 cm,AB=130 cm.球目前在E点位置,AE=60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到D点的位置.
(1)求证:△BEF∽△CDF;
(2)求CF的长.
 
解:(1)证明:由题意,得∠EFG=∠DFG.
∵∠EFG+∠BFE=90°,∠DFG+∠CFD=90°,
∴∠BFE=∠CFD.
又∵∠B=∠C=90°,
∴△BEF∽△CDF.
(2)∵△BEF∽△CDF,∴BECD=BFCF,
即70130=260-CFCF.∴CF=169 cm.

13.(杭州中考)如图,在锐角△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求AFAG的值.
 
解:(1)证明:∵AF⊥DE,AG⊥BC,
∴∠AFE=90°,∠AGC=90°.
∴∠AEF=90°-∠EAF,∠C=90°-∠GAC,
又∵∠EAF=∠GAC,∴∠AEF=∠C.
又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B.
又∵∠AFD=∠AGB=90°,
∴△AFD∽△AGB.∴AFAG=ADAB.
∵AD=3,AB=5,
∴AFAG=35.

03  综合题
14.(眉山中考)如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G.
(1)求证:BG=DE;
(2)若点G为CD的中点,求HGGF的值.
 
解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°.
∵BF⊥DE,
∴∠BFD=90°.
∵∠BGC=∠DGF,
∴∠CBF=∠GDF.
∴△BCG≌△DCE.∴BG=DE.
(2)设正方形ABCD的边长为a,
∵点G是CD的中点,
∴CB=a,CG=GD=12a.∴BG=52a.
∵∠CBG=∠GDF,∠BGC=∠DGF,
∴△BCG∽△DFG.
∴GFGC=DGBG,即GF12a=12a52a.∴GF=510a.
又∵AB∥CD,∴CGBA=HGHB=12.∴HGGB=13.
∴GH=13GB=56a.∴HGGF=56a510a=53.


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