2018中考数学专题：例谈“双勾模型图”的提炼及其应用

例谈“双勾模型图”的提炼及其应用
    数学教学中，适时地对课本的定理进行适当的延伸 与提炼，形成模型，再利用模型去分析和解决问题，能缩短思考时间，提高解题效率.下面举例说 明.
    1.题目
    笔者在教学勾股定理内容 时，为帮助学生形成新的模型图，给出下面这道题:
    在  中， 于 ，求 证:  .
    这是一道无图题，蕴含分类图，图有两种可能，如图1、图2.
 
    题中有垂直且有线段的平方之间的关系，自然想到勾股定理.将图形看成两个直角三角形，利用勾股定理及两 个直角三角形的公共边，便能得 证.
    即由 ，得
      ，
    所以 .
    这个模型图在初中数学中应用广泛，我们把这两个图形形象地称之为“双勾模型图”.
    2.双勾模型图的应用
     例1  (2018 年益阳中考题)如图3，在 中， ，求 的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
    1.作  于 ，设 ， 用含 的代数式表示 .
     2.根据勾股定理，利 用 作为“桥梁”，建立方程模型求出 .
    3.利用勾股定理，求出 的长，再计算三角形面积.
    解析  由双勾模型图3，得
     .
    设 ，则 ,
即 ,
解得 .
 ,
即
         .
评析  本题求面积实际上是求一边上的高.利用双勾模型图1求出 的 长，然后利用勾股定理即可求出高 的长.
 
     例2  如图4，四边 形 中， .求证:  .
    解析  由双勾模型图1得:
 ，
 .
    将两式相减，得
      ，
    即 .
    评析本题把图形看成两个双勾模型图(1)，利用双勾模型图的结沦很容易解决，这也体现了利用模型图给解题带来的简便.
    例3  如图5，在 中，求证： .
 
    解析  作 于点 ， 交 的延长线于点 ，
     则  ，.
     由三 ， 得
      .
    由双勾模型图1，得
     ，
    由双勾 模型图2，得
     .
    两式相加，得
     ，
    整理得，
     ，
即 
 
 
    评析  题中出现了线段之间的平方关系，易联想到勾股定理，为此作高构造直角三角形，形成了双勾模型图，利用这个模型图即可完成证明.
例4  如图6，正方形 和正方形 ， 、 相交于点 .若 ，求正方形 和正方形 的面积之和.
 
    解析  连结 .
    由正方形 和正方形 ，得
     ，
    ∴ ，
    可得 ，
    ∴ .
从而 
 ，
    即 .
     由双勾模型图1及例2，易推得
     ，
由 ，得 ，
∴ .
因此，正方形 和正方形  的面积之和为
 .
    评析  题中“正方形的母子图”中有一个重要 的结论: 与 既相等，又垂直. 由垂直，联想到双 勾模型图，便能顺利解答.当然，解本题时，若有例2的模型图在心中 ，就更易解答.
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至 lxy@jiyifa.cn 举报，一经查实，本站将立刻删除。